DEVOIR A LA MAISON N°3 2

DEVOIR A LA MAISON N°3 2 ^nde 6.

Pour le jeudi 21 novembre 2019.

- Vous devez traiter au moins une version de chaque exercice.

- Si vous avez une moyenne en mathématiques supérieure à 10, vous devez traiter au moins une version "plus difficile".

- Si vous avez une moyenne en mathématiques supérieure à 14, vous devez traiter toutes les versions

"plus difficile".

I.

Version 1. A l’aide du cours.

En vous aidant d'une démonstration similaire dans le cours, montrer que si a et b sont deux multiples de 12, alors leur somme est un multiple de 12.

Version 2. Plus difficile.

a est un entier relatif. On pose m a ² 2 a . Montrer que m 1 est un multiple de a 1.

II.

Version 1. Facile.

1. Pour chacun des nombres suivants, dire à quel(s) ensemble(s) il appartient ( , , D, , ) :

 ; 3 ; 5 ;  ; 

 ; 10

; 

 ;  ; 2,6 ; 1,89 ; 

 ; 0.

2.

a. Décomposer en produit de nombres premiers les nombres 22 320 et 43 400.

b. En déduire la forme irréductible de la fraction :  

  . Version 2. Plus difficile.

1. On veut démontrer l'affirmation suivantes : la somme de deux nombres rationnels est un nombre rationnel. Recopier et compléter la démonstration suivante :

Soient x et y deux nombres rationnels. Alors x a

b où a et b sont des ……… et y ……. où c et d

………

Alors x y ………

avec ……… et ……… des entiers.

Alors x y est bien un nombre rationnel.

2. Montrer de même que le produit de deux nombres décimaux est un nombre décimal.

III.

Version 1. Facile.

Exprimer lorsque c'est possible sous la forme d'un intervalle : 1. [ 7 5] ]2 8]

2. [ 7 5] ]2 8]

3. ] 6] [ 10 9]

4. ] 6] [ 10 9]

5. ]2 4[ ]5 [ 6. ]2 4[ ]5 [ Version 2. Plus difficile.

Exprimer par un intervalle ou une réunion d’intervalles les phrases suivantes : Rappels : "et" signifie " les deux en même temps"

"ou" signifie l'un ou l'autre ou les deux à la fois.

1. x est strictement compris entre 3 et 8 et x est inférieur ou égal à 5.

2. x est strictement compris entre 3 et 8 ou x est inférieur ou égal à 5.

3. x est strictement inférieur à 6 ou x est supérieur ou égal à 3.

4. x est strictement inférieur à 6 et x est supérieur ou égal à 3.

5. x est solution de x 3 4 et x est solution de 6x 78.

6. x est compris entre 2 et 6 et x est strictement inférieur à 1.

7. x est compris entre 2 et 6 ou x est strictement inférieur à 1.

CORRECTION DU DEVOIR A LA MAISON N°3 2 ^nde 6.

I.

Version 1. A l’aide du cours.

Soient a et b deux multiples de 12. On a alors a 12k avec k un entier et b 12 k' avec k' un entier.

Alors a b 12k 12k ' 12(k k ') avec k k ' un entier. Ainsi, a b est un multiple de 12.

En vous aidant d'une démonstration similaire dans le cours, montrer que la somme de deux multiples de 12 est un multiple de 12.

Version 2. Plus difficile.

m 1 a² 2a 1 (a 1)² (a 1)(a 1) avec a 1 un entier relatif. Alors m 1 est un multiple de a 1.

II.

Version 1. Facile.

1. On peut compléter le tableau suivant :

Ensemble Nombres

5 ; 16 4 : 10

10000 ; 0 3 ; 5 ; 16 ; 12

3 4 ; 10

; 0 D 3 ; 5 ; 16 ; 12

3 ; 10

; 13

2 6,5 ; 2,6 ; 1,89 ; 0 3 ; 5 ; 16 ; 12

3 ; 10

; 13

2 ; 2,6 ; 1,89 ; 

 ; 0 3 ; 5 ; 16 ; 12

3 ; 10

; 13

2 ;  ; 2,6 ; 1,89 ; 

 ; 0 2.

a. 22320 2232 10 1116 2 2 5 279 4 2² 5 31 9 2 2 2² 5 2

3

5 31 43400 434 100 217 2 10 10 7 31 2 2 5 2 5 2

5

7 31

b. Alors  

  2 3²

5 7 18 35

Version 2. Plus difficile.

1. Soient x et y deux nombres rationnels. Alors x a

b où a et b sont des entiers relatifs et y c d où c et d sont des entiers relatifs.

Alors x y a b

c d

ad b c

bd avec ad bc et bd des entiers.

Alors x y est bien un nombre rationnel.

2. Soient x et y deux nombres décimaux. Alors x a

10

où a est un entier et n un entier naturel et

y b

10

où b est un entier et m un entier naturel.

xy ( ab ) ( ¹⁰

¹⁰

) ^ab

10

où ab est un entier et m n est un entier naturel.

Alors xy est un nombre décimal.

Ainsi, le produit de deux nombres décimaux est un nombre décimal.

III.

Version 1. Facile.

1. [ 7 5] ]2 8] ]2 5]

2. [ 7 5] ]2 8] [ 7 8]

3. ] 6] [ 10 9] [ 10 9]

4. ] 6] [ 10 9] ] 6]

5. ]2 4[ ]5 [ 

6. ]2 4[ ]5 [ ne peut pas s'écrire sous la forme d un intervalle.

Version 2. Plus difficile.

1. x est strictement compris entre 3 et 8 et x est inférieur ou égal à 5 : x ]3 5]

2. x est strictement compris entre 3 et 8 ou x est inférieur ou égal à 5: x ] 8[

3. x est strictement inférieur à 6 ou x est supérieur ou égal à 3: x ou x ] [ 4. x est strictement inférieur à 6 et x est supérieur ou égal à 3: x [3 6[

5. x est solution de x 3 4 et x est solution de 6x 78:

x 3 4  x 1 et 6 x 7 8  6x 1  x 1

6 donc x ]1 [ 6. x est compris entre 2 et 6 et x est strictement inférieur à 1: x 

7. x est compris entre 2 et 6 ou x est strictement inférieur à 1: x [2 6] ] 1[