Lycée Ste-Marie Fénelon – la Plaine Monceau Classe de MP
Année 2018-2019 Mathématiques
Devoir maison n ◦ 12
À rendre le lundi 11 février
Durée : deux heures pour le premier jet Toute calculatrice interdite
Soitnun entier naturel supérieur ou égal à deux. On désigne parSn(R)l’espace vectoriel des matrices symétriques réelles d’ordren.
Dans tout l’exercice, E est l’espace vectoriel euclidien usuel Rn dont le produit scalaire est noté h · | · i. Soit C= (e1, . . . , en)une base orthonormale deE.
1. SoitA∈ Sn(R). Montrer l’équivalence des trois propositions suivantes : (1) ∀X ∈ Mn,1(R),tXAX≥0.
(2) ∀λ∈Sp(A),λ≥0.
(3) ∃B∈ Sn(R) / A=B2.
On dit dans ce cas que la matriceAest symétrique positive et on note Sn+(R)l’ensemble des telles matrices.
2. SoientJ la matrice d’ordrendont tous les termes sont égaux à1et αun réel. On poseM =−J+ (α+ 1)In où In est la matrice de l’endomorphisme identité deE.
2.1. Déterminer les éléments propres deJ. En déduire ceux deM.
2.2. Pour quelles valeurs deαa-t-onM ∈ Sn+(R)? Montrer qu’alorsrg (M)≥n−1.
3. SoitA∈ Sn+(R)et al’endomorphisme de E dont la matrice dans la baseCest A.
3.1. Justifier l’existence d’une base orthonormale B = (u1, . . . , un) de E constituée de vecteurs propres de l’endomorphismea.
On notera pour touti∈[[1, n]],λi la valeur propre associée au vecteur propreui. 3.2. Soitbl’endomorphisme de E défini par :∀i∈[[1, n]],b(ui) =√
λiui. Justifier que best un endomorphisme symétrique.
3.3. Démontrer queKer (a) = Ker (b).
4. SoitA= (ai,j)∈ Sn+(R)telle que : ∀(i, j)∈[[1, n]]2, (i6=j⇒ai,j <0).
aest toujours l’endomorphisme deE dont la matrice dans la baseC estAetbest l’endomorphisme deE tel que défini à la question 3.2.
4.1. Pour touti∈[[1, n]], on posezi=b(ei).
On va montrer que la famille (z1, . . . , zn−1) est libre.
Dans ce but, on considère des scalaires (γi)i∈[[1,n−1]] tels que
n−1
X
i=1
γizi= 0E.
4.1.1. Montrer que l’on a aussi
n−1
X
i=1
|γi|zi= 0E.
4.1.2. En utilisant le produit scalaire
*n−1 X
i=1
|γi|zi, zn
+
, conclure.
4.2. Prouver enfin que : rg (A)≥n−1.
Bon courage !
1
Lycée Ste-Marie Fénelon – la Plaine Monceau Classe de MP
Année 2018-2019 Mathématiques
Devoir maison n ◦ 12 – éléments de correction
d’après E3A 2018 PSI maths 1
On rappelle que si l’on identifieM1(R)àR, alors l’application(X, Y)7→tXY définit le produit scalaire canonique surMn,1(R). On notek · kla norme euclidienne associée.
1. • Montrons (1) ⇒ (2). Supposons que tXAX ≥ 0 pour tout X ∈ Mn,1(R). Alors en particulier pour tout λ∈Sp(A), pour tout X ∈ Mn,1(R) non nul vecteur propre associé :tXAX =λtXX =λkXk2 ≥0, et donc λ≥0puisque kXk2>0.
• Montrons (2) ⇒ (3). Par théorème spectral, soit P ∈ On(R) tel que A = tPdiag (λ1, . . . , λn)P, où λ1, . . . , λn sont les valeurs propres de A. Si ces valeurs propres sont positives, alors nous pouvons poser B =
tPdiag (√
λ1, . . . ,√
λn)P, de sorte queB∈ Sn(R)et queB2=A.
• Montrons (3) ⇒ (1). Soit B ∈ Sn(R) telle que B2 = A. Alors pour tout X ∈ Mn,1(R), il vient tXAX =
tXB2X=tXtBBX=t(BX)BX =kBXk2≥0.
L’équivalence des trois propositions est ainsi démontrée.
2.
2.1. Classiquement (en considérant le rang et la trace deJ), on a Sp(J) ={0, n}, avec pour espaces propres E0(J) = Ker (J)l’hyperplan d’équation
n
X
k=1
xk = 0etEn(J) = Ker (J−nIn)la droite dirigée par la colonne U ∈ Mn,1(R)dont tous les coefficients valent 1.
C’est un cas typique de translation de spectre. Or pour tous λ ∈ R et X ∈ Mn,1(R), on a manifeste- mentJ X=λX ⇐⇒ M X= (α+ 1−λ)X. D’où Sp(M) ={α+ 1, α+ 1−n}, avec pour espaces propres Eα+1(M) = Ker (M −(α+ 1)In) = Ker (J) et Eα+1−n(M) = Ker (M−(α+ 1−n)In) = Ker (J−nIn). 2.2. D’après 2.1 et en utilisant la caractérisation (2), on aM ∈ Sn+(R) ⇐⇒ α≥n−1.
De plus toujours d’après 2.1 :
• Si α > n−1, alors0 n’est pas valeur propre deM, donc rg (M) =n.
• Si α=n−1, alorsKer (M) = Ker (J−nIn)est de dimension1, donc rg (M) =n−1 . Dans tous les cas, on a donc bienrg (M)≥n−1.
3.
3.1. Le théorème spectral assure que aest diagonalisable dans une base orthonormale , d’où l’existence deman- dée.
3.2. Par définition de b, sa matrice dans la base orthonormale B est symétrique (et même diagonale), donc b est un endomorphisme symétrique .
3.3. Par constructionb2=adoncKer (b)⊂Ker (a). Soitxtel quea(x) = 0, alors puisquebest symétrique : 0 = hx|a(x)i = hx|b(b(x))i = hb(x)|b(x)i = kb(x)k2
doncx∈Ker (b).
D’où l’égalité Ker (a) = Ker (b).
1
4.
4.1. Remarquons que l’on a a=b2, puisque ces deux endomorphismes coïncident sur la base B de 3.1. Ainsi puisque best symétrique (3.2), on a pour tout(i, j)∈[[1, n]]2 :
hzi, zji = hb(ei), b(ej)i = hei, b2(ej)i = hei, a(ej)i = ai,j. En particulier sii6=j, alorshzi, zji<0 par hypothèse surA.
Remarque. Une famille(z1, . . . , zn) d’éléments d’un espace préhilbertien telle quehzi, zji<0 pour tous i6=j est dite obtusangle. Les deux questions ci-dessous montrent qu’une telle famille est de rang au moins n−1.
4.1.1. PosonsI1={i∈[[1, n−1]]/ γi≥0}et I2={i∈[[1, n−1]]/ γi <0}, de sorte que I1 etI2 forment une partition de[[1, n−1]]telle que sii∈I1, alorsγi =|γi|, et sii∈I2, alorsγi=−|γi|.
L’égalité
n−1
X
i=1
γizi= 0E se réécrit X
i∈I1
|γi|zi−X
i∈I2
|γi|zi = 0E, ou encore X
i∈I1
|γi|zi=X
i∈I2
|γi|zi. En notantz ce dernier élément, on a
hz, zi =
* X
i∈I1
|γi|zi,X
j∈I2
|γj|zj
+
= X
(i,j)∈I1×I2
|γi| · |γj|hzi, zji.
Or hz, zi ≥ 0 et puisque I1 et I2 sont disjoints, il vient pour (i, j) ∈ I1×I2, hzi, zji < 0, et enfin
|γi||γj|hzi, zji ≤0.
Il s’ensuit que hz, zi= 0, c’est-à-direz= 0E, soit
n−1
X
i=1
|γi|zi =X
i∈I1
|γi|zi+X
i∈I2
|γi|zi=z+z= 0E .
4.1.2. On a alors
*n−1 X
i=1
|γi|zi, zn
+
=h0E, zni= 0.
Or par linéarité
*n−1 X
i=1
|γi|zi, zn
+
=
n−1
X
i=1
|γi|hzi, zniest une somme de termes négatifs.
Il s’ensuit que pour touti∈[[1, n−1]],|γi|hzi, zni= 0, puisγi= 0puisquehzi, zni<0.
Nous venons de prouver que si
n−1
X
i=1
γizi= 0E, alors pour tout i∈[[1, n−1]],γi= 0. Ceci signifie que la famille (z1, . . . , zn−1)est libre .
4.2. On vient de montrer que la famille(b(e1), . . . , b(en−1))est libre, donc querg (b)≥n−1. Or d’après 3.3 et le théorème du rang : rg (b) = rg (a). Finalement rg (a) = rg (A)≥n−1 .
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