DM12
Devoir maison 12 - Surfaces
On se place dans l’espace euclidienR3muni de son produit scalaire canonique (sa base canonique étant orthonormée).
1. a. Pour θ∈R, on note Rθ : (x, y, z)7→(cos(θ)x+ sin(θ)z, y,−sin(θ)x+ cos(θ)z).
Justifier queRθ est une rotation deR3.
b. Soit x0 ∈R et Mx0 =
x0,x20 2 ,0
. Déterminer la nature de Γx0 = {Rθ(Mx0);θ ∈ [0,2π]}.
Donner un système d’équations cartésiennes deΓx0. c. Déterminer une équation de la surface S= [
x0∈R
Γx0.
d. Soient ψ:R2 →R3 définie par ψ(u, v) =
u,u2+v2 2 , v
, et la surface Σ =ψ(R2).
Que peut-on dire des surfaces S etΣ?
e. Soient(x0, z0)∈R2 fixé etA0=ψ(x0, z0). Déterminer une équation du plan tangent àΣen A0.
f. Déterminer A0 tel que ce plan soit de la forme Pc = {(x, c, z),(x, z) ∈ R2}, où c est une constante.
2. On considère les courbes :
C1=
x,x2 2 ,0
, x∈R
et C2 =
0, y,y2 2
, y∈R
Soit∆ ={(0, u,0), u∈R} (c’est l’axe (Oy)!).
a. Soit P =
x0,x20 2 ,0
∈C1, avec x0 6= 0. Déterminer le point A1 d’intersection entre ∆et la tangente àC1 au pointP.
b. Soit Q=
0, y0,y02 2
∈C2, avec y06= 0. Déterminer le pointA2 d’intersection entre ∆et la tangente àC2 au pointQ.
A quelle condition a-t-on A1 =A2?
c. Soit σ la réunion des droites génératrices (P Q), oùP ∈C1 et Q∈C2, avec P 6=Q et tels que la tangente à C1 au pointP et la tangente àC2 au pointQse coupent sur ∆.
Déterminer une représentation paramétrique de σ.
d. Montrer que les plans tangents à σ en tous points de σ qui appartiennent à une même génératrice (P Q)donnée sont parallèles.
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