en} une base orthonormale de E et soient x, y ∈E

D´epartement de Math´ematiques Facult´e des Sciences

Universit´e Mohammed V

SMA-S4 -Alg`ebre V S´erie 4

Ann´ee Universitaire 2019-2020

Dans toute la s´erie, on suppose que E est un espace euclidien de di- mension n.

Exercice 1. 1) Soient B = {e₁, . . . , e_n} une base orthonormale de E et soient x, y ∈E. V´erifier les ´egalit´es suivantes:

x=

n

X

i=1

hx, e_iie_i, hx, yi=

n

X

i=1

hx, e_iihy, e_ii

et

kxk² =

n

X

i=1

hx, e_ii²

2) Dans R³, consid´erons la famille B ={u₁, u₂, u₃} o`u u₁ = (1,1,2), u₂ = (−1,1,2), u₃ = (2,1,−3)

(i) V´erifier que B est une base deR³ et donner son orthonormalis´ee de Gram Schmidt B⁰ ={v1, v2, v3}.

(ii) Donner les coordonn´ees du vecteur (−5,6,10) dans la base {2v₁,−v₃, v₁+v₂}.

(iii) Donner l’orthonormalis´ee de Gram Schmidt de {u₁, u₃, u₂}. Que remarquez vous?

Exercice 2. PosonsE =M_n(R). Consid´erons l’application f :E×E →R, (A, B)7→tr(A^tB)

1) Montrer que f est un produit scalaire sur E.

2) Donner une base orthonormale de f.

3) Consid`erons maintenant, au lieu de f, l’application g d´efinie par g(A, B) = tr(AB). L’application g est elle un produit scalaire?

Exercice 3. Soit B ={e₁, . . . , e_n} une base de E. Pour tout u ∈ E, consid´erons la forme lin´eaire

f_u :E →R, v 7→ hu, vi

1) Donner les coordonn´ees de f_u dans la base B^∗. Que pouvez vous dire du cas o`u B est orthonormale ?

2) Montrer que B est orthonormale si et seulement si f^P

iλiei =X

i

λ_ie^∗_i, ∀λ₁, . . . , λ_n∈R

1

2

3) Montrer que E^∗ ={f_u :u∈E}.

4) Soient ϕ un endomorphisme de E et u ∈ E. Comparer ϕ^t(f_u) et f_ϕ^∗_(u).

Exercice 4. I) Soit R une rotation du plan de centre Ω et d’angle θ.

(1) Retrouver g´eom´etriquement la forme de la matrice carr´ee d’ordre 2 associ´ee `a R; autrement dit, utiliser la d´efinition g´eom´etrique d’une rotation pour trouver la matrice de R.

(2) Trouver alg´ebriquement la forme de toutes les matricesA∈O₂(R) et d´eduire la forme deR, sachant que les rotations sont les ´el´ements de SO₂(R).

II) Soit A ∈O_n(R). Donner les valeurs propres possibles de A.

III) Soit A∈SO3(R). Rappelons queA correspond `a une rotation de l’espace (au sens usuel).

(i) Montrer qu’il existe une matrice orthogonale P de M₃(R) tel que P^tAP a la forme

P^tAP =





1 0 0

0 cosθ −sinθ 0 sinθ cosθ



, θ ∈R

(ii) Etablir la formule de Rodrigues pour une rotationR de l’espace de vecteur u et d’angle θ

Rv = (1−cosθ)hu, viu+ cosθv+ sinθ(u∧v), ∀v ∈R³ (iii) Dans l’espace euclidien R³, v´erifier la formule:

hu, vi²+ku∧vk² =kuk²kvk²

Exercice 5. Soit B une base orthonormale de E. Soit B⁰ = {u₁, . . . , u_n} ⊂ E. Pour tout j, d´esignons par U_j le vecteur colonne qui repr´esente les coordonn´ees deu_j dans la baseB. Soit U la matrice form´ee par les vecteurs colonnes U₁, . . . , U_n. Montrer que

|detU| ≤ ku₁k. . .ku_nk Pr´eciser les cas o`u on a l’´egalit´e.

Exercice 6. (1) Supposons que dimE ≥ 2. Donner un exemple d’endomorphismes T etS dans S(E) tel queT S 6=ST.

(2) Soient T, S ∈ S(E). Supposons que T S ∈ S(E). Montrer qu’il existe une base B dans laquelle les deux matrices M(T, B) etM(S, B) sont diagonales.

(3) Soit A ∈ S_n(R). Supposons qu’il existe r ∈ N^∗ tel que A^r = I_n. Montrer que A² =I_n.