Université Bordeaux 1 MHT631 – Licence
Mathématiques Année 2010–2011
FEUILLE D’EXERCICES no9 Espaces euclidiens
Exercice 1 – Soit E =Rn. On définit sur E l’applicationq par q(x) =
n
X
i=1
x2i −Xn
i=1
aixi2
,
où (ai)∈Rn vérifie
n
X
i=1
a2i <1.
1) Montrer que q est une forme quadratique.
2) Montrer que E muni de q est euclidien.
Exercice 2 – Soit E = R2[X] = {P ∈ R[X]; degP 6 2}. On définit sur E l’application q par
q(P) = Z 1
0
P2(t)dt.
1) Montrer que q est une forme quadratique.
2) Montrer que E muni de q est euclidien.
3) Déterminer une base orthonormale de E.
Exercice 3 – Soit (ai) ∈ Rn+1. Soit E =Rn[X] ={P ∈ R[X]; degP 6 n}. On définit sur E l’application q par
q(P) =
n
X
i=0
P(i)(ai)2
.
1) Montrer que q est une forme quadratique.
2) Montrer que E muni de q est euclidien.
Exercice 4 – Soit E =Mn,n(R). On définit sur E l’application q par q(M) = Tr(MtM).
1) Montrer que q est une forme quadratique.
2) Montrer que E muni de q est euclidien.
3) Déterminer une base orthonormale de E.
Exercice 5 – Soit E un R-espace vectoriel de dimension finie. On suppose que E est muni d’une norme k k vérifiant
kx−yk2+kx+yk2 = 2(kxk2+kyk2) pour tout (x, y)∈E2.
Montrer quek k2 est en fait une forme quadratique associée à un produit scalaire de E – qui est donc euclidien.
Indication : On posera
f(x, y) = 1 4
kx+yk2− kx−yk2
et on montrera que pour tout x, y, z∈E on af(x+y, z) +f(x−y, z) = 2f(x, z), f(2x, z) = 2f(x, z)et f(u, z) +f(v, z) =f(u+v, z), puis que f est bilinéaire.
Exercice 6 – Soit E un espace euclidien. On note h, i son produit scalaire et q la forme quadratique associée.
1) Soit u une application de E dans E conservant le produit scalaire de E, i.e.
vérifiant
hu(x), u(y)i=hx, yi, pour tout(x, y)∈E2.
Montrer que u est un automorphisme de E (application linéaire bijective de E dans E).
2) Soit u une application de E dans E vérifiant u(0) = 0et q u(x)−u(y)
=q(x−y) pour tout (x, y)∈E2. Montrer que u est un automorphisme de E.
Exercice 7 – Soit E un espace euclidien et soit u un endomorphisme de E (application linéaire de E dans E). On suppose que pour tout (x, y)∈E2, on a
hx, yi= 0⇒ hu(x), u(y)i= 0.
Montrer qu’il existe α >0 tel que hu(x), u(y)i=αhx, yi pour tout (x, y)∈E2.
