1. Par analogie entre les forces gravitationnelle et électrostatique, on peut remarquer que−G⇔ 1
4.π.ǫ0, ce qui amène à la forme gravitationnelle du théorème de Gauss :
∬ Ð→g .Ð→dS =−4.π.G.Mint
2. La distribution étant à symétrie sphérique,Ð→G =G(r).Ðe→r. On choisit donc une sphère comme surface de Gauss.
∀r,∯ Ð→G ⋅Ð→
dS=4.π.r2.G(r)
✓ Pour r<R :Mint=ρ.4
3.π.r3=mT.r3
R3 donc G(r)=−G.mT.r R3
✓ Pour r⩾R :Mint=mT doncG(r)=−G.mT
r2 3. On en déduit le potentiel V tel que Ð→G =−ÐÐ→
gradV, soit
✓ Pour r⩾R :∫V0(r)dV =G.mT.∫r∞dr
r2 doncV(r)=−G.mT
r
✓ Pourr<R :∫VV(R)(r)dV = mT.G
R3 ∫Rr.r.dr avec V(R)= −G.mT
R (par continuité du potentiel.
donc V(r)= −G.mT
R +mT.G
2.R3 .(r2−R2)=−mT.G
2.R3 .(r2−3.R2) 4. Ep(r)=∭ ρ.V.dτ
On choisit comme volume élémentaire dans lequel V(r) peut être considéré comme uniforme le volume compris entre deux sphères de rayonsr etr+dr :dτ =4.π.r2.dr
Alors Ep(r)=−ρ.mR.G
2.R3 .∫0r(r2−3.R2).4.π.r2dr=ρ.6.m2T.G 5.R
