Montrer que l’applicationf :R2 −→R2, d´efinie par f(x

UNIVERSITE DENIS DIDEROT. 1999–2000.

Premier cycle. M.T. 242.

Devoir n^o 3

Exercice 1 : Etudier les extrema de la fonction f :R² −→R, d´efinie par : f(x₁, x₂) = 4x³₁−15x₁+ 3 (x₁x²₂−2x₂).

Exercice 2 : SurR² l’on consid`ere la norme euclidienne ordinaire.

1^o D´eterminer en fonction des r´eels a et b la norme kuk_L(R²,R²) de l’endomorphisme u de R², d´efini par :

u(x) = (a x1+b x2,−b x1+a x2), o`u x = (x1, x2).

2^o a. Montrer que l’applicationf :R² −→R², d´efinie par f(x) = x⁴₁+x⁴₂

4 − 3x²₁x²₂

2 + 3, x₁x₂(x²₁−x²₂)−2

, o`u x = (x₁, x₂) est de classe C¹. Donner sa matrice jacobienne et calculer la norme kdfxk_L(R²,R²). b. Montrer que dans la boule de centre (0,0) et de rayon r l’on a l’in´equation :

∀x, ∀y, kf(x)−f(y)k ≤r³kx−yk.

Exercice 4 : On munit R² du produit scalaire usuel not´e ici < | >; la norme euclidienne sera not´ee k.k

1^o Montrer que l’applicationf :R² −→R², d´efinie par f(x) = x1+ cosx1 sinx2

2 , x2− sinx1 cosx2

2

, o`u x= (x1, x2), est de classe C¹. Donner sa matrice jacobienne Jf_x en x.

Montrer que la diff´erentielle dfx de f en x v´erifie :

∀x, h∈R², khk² ≤2 < dfx(h)|h > .

2^o Soient a un r´eel strictement positif et g : R² −→ R² une application de classe C¹ v´erifiant :

∀x, h∈R², akhk² ≤ < dgx(h)|h > .

a) Montrer que dg_x est un isomorphisme lin´eaire de R² et que g envoie tout ouvert sur un ouvert deR².

b) On consid`ere deux ´el´ements x et y de R<sup>2</sup> et l’on pose ϕ(t) = g(tx+ (1−t)y), pour toutt de [0,1]. Montrer que g est d´erivable. Calculer g<sup>0</sup>(t). En utilisant le th´eor`eme des accroissements finis, ´etablir que : akx−yk² ≤ < g(x)−g(y)|x−y >.

c) En d´eduire que g est injective (penser `a l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz).

d) Montrer qu’une suite (xn)n∈N deR² est de Cauchy, si et seulement si, son image par g en est aussi une. En conclure que l’image par g de tout ferm´e de R² est ferm´ee.

e) On d´esigne par X une partie non vide de R² que l’on suppose `a la fois ouverte et ferm´ee. Pour tout point x de X et tout r´eel positifε, on pose

F(x, ε) ={y∈R² :kx−yk ≤ε} et S(x, ε) ={y ∈R² :kx−yk=ε}.

Est-ce des compacts ? Pour x ∈ X, on pose mx = sup{ε ∈ R₊ : F(x, ε) ⊂ X}. Montrer que mx >0.

On veut prouver que mx = +∞. Dans le cas inverse (avec x ∈X) justifier les faits suivants : S(x, mx) est contenu dans X et il existe une suite (yn)n∈N de S(x, mx) telle que, pour tout nde N^∗, l’on ait : m_yn ≤1/n. En d´eduire une contradiction, puis le fait que X =R².

Montrer que g est surjective (consid´erer l’image X = g(R²)), donc bijective, et que son inverse est de classe C¹.