pour tout (x, y)∈R2

Universit´e Paris 7 Ann´ee 2004/2005

DEUG MIAS et MASS MT231

Examen du 21 janvier 2005

Dur´ee : 3 heures. Bar`eme : 3, 3, 5, 5, 4.

La question III 4 est hors bar`eme.

L’utilisation de calculatrices, t´el´ephones portables et documents est interdite.

I

D´eterminer la nature des s´eries num´eriques suivantes.

1- X

n≥1

cos 1 n

2- X

n≥0

(−1)ⁿ log(2 +n)

3- X

n≥1

nⁿ (n!)².

II

Soit a un param`etre r´eel. Soit f l’endomorphisme de R² d´efini par f(x, y) = (2x+ay, x+ 2y) , pour tout (x, y)∈R². 1- Pour quelles valeurs de a l’endomorphisme f est-il diagonalisable ?

2- Dans le cas o`u f est diagonalisable, d´eterminer une base de R² constitu´ee de vecteurs propres de f.

III

On consid`ere la matrice

A=





−1 1 −1

−3 0 2

−3 1 1



.

1- D´eterminer les valeurs propres deA. La matriceA est-elle diagonalisable ? 2- D´eterminer une matrice inversible P telle queP⁻¹AP =T, avec

T =





2 0 0

0 −1 1

0 0 −1



 .

Indication : si (v₁, v₂, v₃) sont les vecteurs colonnes qui forment P, on pourra d’abord

´

etablir une relation entre v₂, v₃ et Av₃, puis chercher v₃ de la forme



 a b 0



.

3- R´esoudre le syst`eme diff´erentiel suivant :







x⁰ = −x +y −z y⁰ = −3x +2z z⁰ = −3x +y +z

.

4- Calculer T², T³ et plus g´en´eralement T^k, pour tout k ∈ N. Indication : on ´ecrira T =D+N, o`u D est diagonale, N² = 0 et DN =N D.

En d´eduire A^k, pour tout k ∈N.

IV

On consid`ere l’´equation diff´erentielle

(1−x²)y⁰⁰−4xy⁰−2y= 0 . (1)

1- On recherche les solutions de cette ´equation qui sont d´eveloppables en s´erie enti`ere sur un voisinage de 0. On posey(x) = P∞

n=0c_nxⁿ.

Donner une condition n´ecessaire et suffisante sur les coefficients c_n pour que y soit une solution de (??).

2- D´emontrer qu’il existe une unique solutionf d´eveloppable en s´erie enti`ere sur un voisi- nage de 0 telle que f(0) = 1 et f⁰(0) = 0. D´eterminer le rayon de convergence de la s´erie.

3- D´emontrer qu’il existe une unique solution g d´eveloppable en s´erie enti`ere sur un voisi- nage de 0 telle que g(0) = 0 et g⁰(0) = 1. D´eterminer le rayon de convergence de la s´erie.

4- Pouvez-vous reconnaˆıtre `a partir des s´eries donnant f et g respectivement des expres- sions plus simples ?

V

On consid`ere la suite de fonctions (f_n)_n≥1 d´efinie par : f_n(x) = 1

n²e^−nx2 ∀x∈R. 1- Montrer que la s´erie de fonctions P

f_n converge simplement sur R. On posera f(x) =

∞

X

n=1

fn(x) ,pour tout x∈R. 2- Montrer quef est une fonction continue sur R.

3- Soit n∈N^∗. Etudier la fonction f_n⁰, de fa¸con `a calculer a_n= maxx∈R|f_n⁰(x)|.

4- Montrer quef est une fonction d´erivable sur R.