Exercice 1. Trouver les rayons de convergence des s´ eries enti` eres de terme g´ en´ eral : (a) nz n ; (b) n!z n ; (c) z n!n ; (d) n n!nz n ; (e) 2 −n (1 + n 1 ) n2z n .

MAT402 Ann´ ee 2018-2019 Feuille d’exercices 4

Exercice 1. Trouver les rayons de convergence des s´ eries enti` eres de terme g´ en´ eral : (a) nz ⁿ ; (b) n!z ⁿ ; (c) ^z _n!

; (d) ⁿ _n!

z ⁿ ; (e) 2 ⁻ⁿ (1 + _n ¹ ) ⁿ

z ⁿ .

Exercice 2. D´ eterminer le rayon de convergence de la s´ erie enti` ere P

n>0 a _n z ⁿ (a) si (a n ) n∈ N est une suite born´ ee ne tendant pas vers 0.

(b) si (a _n ) n∈ N est une suite qui tend vers 0, telle que P

n>0 a _n diverge.

Exercice 3. Soient P

n∈ N a _n z ⁿ et P

n∈ N b _n z ⁿ deux s´ eries enti` eres de rayons de convergence R et R ⁰ , respectivement.

(a) Montrer que si on a |a _n | 6 |b _n | ` a partir d’un certain rang, alors R > R ⁰ . (b) Montrer que si |a _n | ∼ |b _n |, alors R = R ⁰ .

Exercice 4. Soit P

n∈ N a n z ⁿ une s´ erie enti` ere. Montrer que les deux s´ eries P

n>0 a n z ⁿ et P

n>0 |a n |z ⁿ ont mˆ eme rayon de convergence. Les domaines de convergence sont-ils n´ ecessairement ´ egaux ? Exercice 5. Soit P

a _n x ⁿ _{n∈ N} une s´ erie enti` ere de rayon R > 0 et de somme f sur ] − R, R[.

1. Montrer que f est paire si et seulement si pour tout k ∈ N , a _2k+1 = 0.

2. Montrer que f est impaire si et seulement si pour tout k ∈ N , a _2k = 0.

3. Montrer que f ⁽ⁿ⁾ est la fonction nulle si et seulement si pour tout k > n, a _k = 0.

Exercice 6. [CC du 05/05/2010]

1) D´ evelopper en s´ erie enti` ere de la variable x la fonction x 7→ _1−x ¹

· 2) En d´ eduire le d´ eveloppement en s´ erie enti` ere de _1+x+x ¹

·

Exercice 7. Trouver le rayon de convergence des s´ eries enti` eres dont les termes g´ en´ eraux sont : (a) 2 <sup>n</sup> z <sup>2n</sup> , c’est-` a-dire la s´ erie enti` ere P

n>0 a n z ⁿ avec a n =

( 0 si n est impair, 2 ^n/2 si n est pair.

(b) a _n z ⁿ avec a _n =

( 1 si n est impair, 2 ⁿ si n est pair.

Exercice 8. [CC du 05/05/2010] D´ eterminer le rayon de convergence R puis la somme pour x ∈ ] − R, R[ de la s´ erie enti` ere P

n>0 1

2n+1 x ²ⁿ⁺¹ .

Exercice 9. D´ eterminer le rayon de convergence et la somme des s´ eries enti` eres suivantes : (a) P

n > 2 x

n(n−1) ; (b) P

n > 0 n(n + 1)x ⁿ ; (c) P

n > 0 3n

n+2 x ⁿ ; (d) P

n > 0

n

+n−1 n! x ⁿ . Exercice 10. S´ eries enti` eres ` a coefficients positifs.

Soit P

n>0 a _n x ⁿ une s´ erie enti` ere ayant des coefficients a _n tous positifs et un rayon de convergence

´

egal ` a 1. La somme de la s´ erie pour −1 < x < 1 est not´ ee f (x).

1. Etudier la monotonie de l’application f sur [0, 1[. En d´ eduire quels sont les comportements possibles de f(x) quand x → 1 ⁻ .

2. On suppose maintenant que f a une limite r´ eelle λ en 1 ⁻ . a) Pour tout N ∈ N , et tout x ∈ R , on note S _N (x) = P N

n=0 a _n x ⁿ (on notera que S _N est une fonction polynˆ omiale, d´ efinie et continue sur R ). Comparer S _N (x) et f(x) lorsque 0 < x < 1, et en d´ eduire que S _N (1) 6 λ.

b) En d´ eduire que la s´ erie P

n>0 a _n converge, puis que la s´ erie enti` ere P

n>0 a _n x ⁿ converge normalement sur [−1, 1].

c) Montrer pr´ ecis´ ement que P +∞

n=0 a _n = λ.

3. On suppose maintenant que f(x) tend vers +∞ quand quand x → 1 ⁻ . Montrer qu’alors, la s´ erie P

n>0 a _n diverge.

Exercice 11. On consid` ere l’´ equation fonctionnelle suivante :

∀x ∈ ]−1, 1[ , f(x) − f(−x) = 2x

1 − x ² . (E)

1. Donner le d´ eveloppement en s´ erie enti` ere de la fonction x 7→ _1−x ^x

. 2. A quelle(s) condition(s) la somme de la s´ erie enti` ere P

n∈ N a _n x ⁿ est-elle solution de (??) ? 3. Expliciter toutes les fonctions impaires d´ eveloppables en s´ erie enti` ere qui sont solutions de

(??).

Exercice 12. Trouver toutes les fonctions d´ eveloppables en s´ erie enti` ere solutions de l’´ equation y ⁰ (x) + 2xy(x) = 0, x ∈ R .

Exercice 13. [examen, seconde session 2018]

1. D´ evelopper en s´ erie enti` ere autour de 0 les fonctions x 7→ _1−x ¹ et x 7→ _1+x ¹ . Pr´ eciser les domaines de convergence des s´ eries obtenues.

2. Trouver une solution d´ eveloppable en s´ erie enti` ere autour de l’origine de l’´ equation diff´ erentielle : 4x ² y ⁰⁰ (x) + 4xy ⁰ (x) − y = x

1 − x . (E)

D´ eterminer le rayon de convergence de la s´ erie enti` ere obtenue.

3. Montrer que l’application ϕ : x ∈ [−1, 1] 7→ ϕ(x) = P +∞

n=1 x

4n

−1 est bien d´ efinie et continue.

4. D´ eterminer des constantes α et β telles que :

∀n > 1, 1

4n ² − 1 = α

2n − 1 + β 2n + 1 . 5. Montrer que la fonction u 7→ ln

q 1+u

1−u admet pour d´ eveloppement en s´ erie enti` ere sur ] − 1, 1[ : u 7→ P +∞

n=0 u

2n+1 .

6. Pour x ∈ ]0, 1[, on d´ efinit H(x) = P +∞

n=0 x

2n+1 . D´ eduire de la question pr´ ec´ edente une expression de H(x) ` a l’aide de fonctions usuelles. On pourra poser u = √

x.

7. En d´ eduire une expression de ϕ(x) ` a l’aide de fonctions usuelles.

Exercice 14. [CC du 05/05/2010] Soit la fonction f d´ efinie sur ] − 1, 1[ par f(x) = ^ln(1−x) _x−1 · 1) V´ erifier que pour tout x ∈ ] − 1, 1[, (1 − x)f ⁰ (x) − f (x) = 1

1 − x (∗).

2) On suppose qu’il existe au moins un s > 0 et une suite (a _n ) n∈ N de r´ eels telle que f (x) = P +∞

n=0 a _n x ⁿ pour x ∈ ] − s, s[.

a) Montrer grˆ ace ` a l’´ equation (∗) que pour tout n ∈ N , on a a _n+1 − a _n = _n+1 ¹ ·

b) Apr` es avoir d´ etermin´ e a ₀ , en d´ eduire, pour tout n ∈ N , l’expression de a _n en fonction de n.

c) En d´ eduire le rayon de convergence R de la s´ erie enti` ere P

n > 0 a _n x ⁿ .

3) Expliquer pourquoi on a ainsi obtenu le d´ eveloppement en s´ erie enti` ere de f sur ] − 1, 1[.

4) Retrouver ce r´ esultat en faisant le produit des d´ eveloppements en s´ eries enti` eres de − ln(1 − x) et

de _1−x ¹ ·