Exercice 3 Soit f : R2

Universit´e Claude Bernard Lyon 1 PCSI UE Math2

Printemps 2013 Responsable : Johannes Kellendonk

FICHE TD 3 - CALCUL DIFF´ERENTIEL II

Exercice 1 (Diff´erentielle)

Pour chacune des fonctionsf :R²→Rd´efinies pour (x, y)∈R² par

a) f(x, y) =x³y+x²y²+xy³, b) f(x, y) =xsin(y)−ysin(x), d´eterminer la diff´erentielle en tout point (x, y)∈R².

Exercice 2 Soit f :R² → R diff´erentiable surR². D´eterminer la diff´erentielle des fonctions u:R→ R et g:R² →Rd´efinies paru(x) =f(x,−x) etg(x, y) =f(y, x).

Exercice 3 Soit f : R² −→ R une fonction, et posons g(x, y) = f(x² −y²,2xy). Exprimer les d´eriv´ees partielles de g en fonction de celles de f.

Exercice 4 D´eterminer de deux mani`eres dif´erentes la d´eriv´ee par rapport `a tde a) f(x, y) =x²+ 3xy+ 5y² o`u x= sint ety= cost,

b) f(x, y) = ln(x²+y²) o`u x=e^−t ety=e^t.

Exercice 5 Soit f :R² → R une fonction de classe C¹(R²) et y : R→ R une fonction d´erivable. Posons z(x) =f(x, y(x)) pour toutx∈R. Montrer quezest d´erivable et calculerz⁰(x) en fonction des d´eriv´ees de f et dey. Appliquer la formule au cas particulier d´efini par f(x, y) =x²+ 2xy+ 4y² ety(x) =e^3x.

Exercice 6 Soit γ(t) = (x(t), y(t)) une courbe param´etr´ee de R² (une application de R dans R²). Soit f(x, y) =e^xy.En sachant queγ(0) = (1,2),etγ⁰(0) = (3,4).Trouver la valeur de df(γ(t))

dt t=0

.

Exercice 7 (Matrice Hessienne)

Calculer la matrice Hessienne au point (x, y) des fonctions f :R² →Rd´efinies par : a) f(x, y) =x³y+x²y²+xy³, b) f(x, y) =xsin(y)−ysin(x) Exercice 8 (Equation d’onde)

Soient F et G deux fonctions de classe C² dans R et c ∈ R^∗. On pose u(x, t) = F(x−ct) +G(x+ct).

Montrer que uest une solution de l’´equation d’onde :

∂²u

∂t²(x, t)−c²∂²u

∂x²(x, t) = 0, pour tout (x, t)∈R².

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