Exercice 3 (Formule de Green–Riemann) (3 points) Soit D= (x, y)∈R2

Universit´e Pierre et Marie Curie Int´egrales multiples Licence de sciences et technologies, Mention math´ematiques LM236 Ann´ee universitaire 2008–2009 Cours et travaux dirig´es : M. Vohral´ık

Examen du 17 d´ecembre 2008

2 heures, aucun document autoris´e, pas de calculatrice le bar`eme sur 20 points est donn´e au titre indicatif Exercice 1 (D´eriv´ee d’une fonction compos´ee) (3 points)

Calculer la d´eriv´ee de la fonction compos´ee

f(u, v) = e^u+v2, o`u u(x, y) = sin(x) et v(x, y) =x²+y.

Exercice 2 (Forme diff´erentielle, primitive, gradient) (3 points) 1) Montrer que la forme diff´erentielle ω suivante est exacte sur R² :

ω(x, y) = 2xy

(1 +x²)²dx− 1 1 +x²dy.

2) Donner une primitive f deω.

3) Donner le gradient de f.

Exercice 3 (Formule de Green–Riemann) (3 points) Soit

D=

(x, y)∈R²; x≥0, y ≥0, x² a² +y²

b² ≤1

.

A l’aide de la formule de Green–Riemann, calculer l’int´egrale Z Z

D

(2x³ −y)dxdy.

Exercice 4 (Int´egrale double, changement de variables) (4 points) En suivant le changement de variables indiqu´e, calculer l’int´egrale double

Z Z

D

f(x, y)dxdy,

o`u

D={(x, y)∈R²; 0< x < y, a < xy < b, y²−x² <1}, a, b´etant deux param`etres ≥0 et

f(x, y) = (y²−x²)^xy(x²+y²).

On posera u=xy etv =y²−x².

Exercice 5 (Flux `a travers une surface) (4 points) Calculer le flux de −→

V `a travers la surface S, o`u −→

V = (y,−x,−3z) et S est la demi sph`ere z =p

16−x² −y², orient´ee vers le bas.

Exercice 6 (Formule d’Ostrogradski) (3 points) Calculer le flux de −→

V `a travers la surface S en utilisant la formule d’Ostrogradski, o`u

−

→V = (x²y,−x²z, z²y) et S est le bord du parall´el´epip`ede form´e par les plansx = 0, x= 3, y = 0, y= 1, z = 0 et z = 1.

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