Université Pierre et Marie Curie Intégrales multiples Licence de sciences et technologies, Mention mathématiques LM236 Année universitaire 2011-2012 Cours et travaux dirigés : M. Gaillard
Examen du mardi 03 janvier 2012 Première session
2 heures, aucun document autorisé, pas de calculatrice Le barème est donné à titre indicatif
Exercice 1 : Formule d’Ostrogradski 5 points
Calculer le flux de V à travers la surface S en utilisant la formule d’Ostrogradski, où : , ²,
S est le bord du tétraèdre de sommets 0,0,0, 1,0,0, 0,1,0et 0,0,1
Exercice 2 : Flux à travers une surface 4 points
Calculer le flux de à travers la surface S orienté vers le bas. Avec , , 3 et S la surface paramétré par :
, 2 , 3
, , 0,1 0,2
Exercice 3 : Intégral double 3 points
Soit
, \1 " 4$% 9$ " 4' Calculer l’intégrale double :
( ) * 1
8² % 18² % , --
.
Exercice 4 : Changement de variable, intégrale triple 4 points Calculer le volume de :
/ , , \ % 1$% % $ " 1 0 0 " " 1'
Exercice 5 : Intégral curviligne, formule de Green 6 points On cherche à calculer l’intégrale curviligne ( 1 ² % ²-2 avec Γ la courbe parcourut dans le sens trigonométrique composé de l’arc parabolique ² 6 % 13 du segment [AB] avec A(0,13) et B(3,4).
On cherche à calculer l’intégrale ( de deux manières différentes.
1) Dessiner dans le plan, la courbe Γ .
2) En utilisant la formule de Green-Riemann, transformer l’intégrale en une intégrale.
Puis calculer cette intégrale.
3) Déterminer l’intégrale curviligne 1 ² % ²-2 .
