Année universitaire 2011-2012 Licence 3 de mathématiques Algorithmique algébrique 1 - Feuille 2 Exercice 1 On note (F

Année universitaire 2011-2012 Licence 3 de mathématiques

Algorithmique algébrique 1 - Feuille 2 Exercice 1

On note (Fn)n≥0 la suite de Fibonacci définie par F0 = 0, F1 = 1, et Fn+2 = Fn+1+Fn pour toutn ≥0. Soienta etb deux entiers ≥1. Le but de cet exercice est de borner le nombre m de divisions effectuées par l’algorithme d’Euclide ap- pliqué àa et b.

a. Montrer que Fm+1 ≤b.

b.Posonsφ = 1 +√ 5

2 etψ = 1−√ 5

2 . Montrer que Fn = φⁿ−ψⁿ

√5 pour tout n≥0.

c.En déduire la majoration m≤ lnb lnφ + 1.

Exercice 2

Trouver tous les couples (x;y)∈Z² vérifiant 1179x+ 444y= 9.

Exercice 3 : fractions de Farey Soit n un entier ≥1. Posons Fⁿ=na

q ; a∈Z et q∈ {1;· · ·;n}o .

a. Montrer que si a q et a^′

q^′ sont deux fractions irréductibles consécutives de Fⁿ, alors on a a^′q−aq^′ = 1 et q +q^′ ≥ n+ 1 (on pourra considérer u ∈ Z et v ∈ {n−q+ 1;· · ·;n} tels que qu−av= 1).

b. Montrer que si a q, a^′

q^′, a”

q” sont trois fractions irréductibles consécutives de Fⁿ, alors on a a^′

q^′ = a+a”

q+q”.

Exercice 4 : nombres parfaits

Pour tout entier n≥1, on pose σ(n) =X

d|n

d.

a. Soient a et b deux entiers ≥ 1 premiers entre eux. Montrer que σ(ab) = σ(a)σ(b).

1

b.Soitn un entier pair≥2. Montrer que σ(n) = 2nsi et seulement s’il existe r ≥ 2 vérifiant : 2^r −1 est premier et n = 2^r−1(2^r−1) (indication : on pourra écrire n= 2^r−1p^sm, avecm et 2p premiers entre eux, et p un facteur premier de 2^r−1).

Exercice 5 : critère de Pépin

Soit n un entier naturel ; on pose Fn= 2²ⁿ+ 1.

a. Soit p un facteur premier de Fn. Déterminer l’ordre de ¯2 dans le groupe (Z/pZ)^∗. En déduire que2ⁿ⁺¹ divise p−1.

b.Supposons qu’il existe un entieratel que a^(Fn−1)/2 ≡ −1 modFn. En s’ins- pirant de la question a, montrer que Fn est premier.

Exercice 6

Désignons parC l’ensemble des entiers de la formep^rm avecppremier, r≥1 etm∈ {1; 2}. Soit n un entier≥12 tel que n /∈C.

a. Montrer qu’il existe b≥3, c≥4et a∈ {1;· · ·;n−1} vérifiant : n=bc, b etcsont premiers entre eux, b divise a+ 1 et cdivise a−1.

b. Montrer que 2≤a≤n−2et que a² ≡1 mod n.

c.Comment trouver un facteur non trivial de n à l’aide de a? Exercice 7

Soient m un entier ≥1et d un diviseur de m.

a. Montrer qu’il existe deux entiers a ≥ 1 etb ≥1 vérifiant : m = ab, a et b sont premiers entre eux,d divise a, et tout facteur premier de a divise d.

b.En déduire que le morphisme canonique (Z/mZ)^∗ →(Z/dZ)^∗ est surjectif.

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