Année universitaire 2011-2012 Licence 3 de mathématiques
Algorithmique algébrique 1 - Feuille 5
Exercice 1 : théorème de Wilson et conséquence
Soit p un nombre premier impair.
a. Factoriser le polynôme Xp−1−1 dans Fp[X].
b. En déduire la congruence (p−1)! ≡ −1 mod p.
c. Supposons p ≡ 1 mod 4. On pose x = ((p−1)/2)!. Montrer que x2 ≡
−1 mod p.
d. Supposons qu’il existe un entier x tel que x2 ≡ −1 mod p. Montrer que p≡1 mod 4.
Exercice 2 : théorème de Chevalley-Warning
Soient pun nombre premier etn un entier≥1. On noteA=Fp[X1;· · ·;Xn].
Pour toutF ∈A, on pose Σ(F) = X
x∈Fnp
F(x).
a. Calculer X
t∈Fp
ti pour tout entier natureli (on pourra utiliser la cyclicité du groupe F∗p).
b.En déduire que siF ∈Aest de degré (total)<(p−1)n, alors on aΣ(F) = 0.
c.SoitF ∈Ade degré < n. PosonsN = #{x∈Fn
p | F(x) = 0}. Montrer que p divise N (on pourra considérer Σ(Fp−1)). En déduire que si F est sans terme constant, alors il existex∈Fnp − {0} tel que F(x) = 0.
Exercice 3 : théorème des deux carrés
Soit p un nombre premier de la forme p = 4k + 1 pour un entier k ≥ 1.
Désignons par S l’ensemble des (x;y;z)∈N3 tels que x2+ 4yz =p.
a. Vérifier que l’ensemble S est fini.
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Pour tout (x;y;z)∈S, on pose
f(x;y;z) =
(x+ 2z;z;y−x−z) six < y−z;
(2y−x;y;x−y+z) siy−z ≤x≤2y;
(x−2y;x−y+z;y) six >2y.
b. Montrer que f(S)⊂S et que f ◦f = IdS.
c.Montrer que f a exactement un point fixe dans S. En déduire que#S est impair.
d.Pour tout (x;y;z)∈S, on poseg(x;y;z) = (x;z;y). Vérifier queg(S)⊂S et que g◦g = IdS.
e. En conclure qu’il existe(a;b)∈N2 tel que p=a2+b2.
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