Année universitaire 2011-2012 Licence 3 de mathématiques
Algorithmique algébrique 1 - Feuille 7
Exercice 1
On poseP =X5+X2+1etQ=X2+1. Calculer l’inverse deQ¯dans l’anneau Q[X]/hPi.
Exercice 2
Trouver tous les polynômes P ∈R[X]vérifiant P(X2) =P(X)P(X−1).
Exercice 3
Calculer dans R(X) la décomposition en éléments simples de la fraction ra- tionnelle
1
X4 −2X3+ 2X2−2X+ 1 . Exercice 4
Calculer X+∞
k=2
1 k3−k.
Exercice 5
a. Effectuer dans Q[Y] la division suivant les puissances croissantes à l’ordre 2 de (Y −1)5 par (Y −1)2+ 1.
b.En déduire dansQ[X] la décomposition en éléments simples de la fraction rationnelle
X5
(X+ 1)3(X2+ 1) . Exercice 6
Soit P =a0Xn+· · ·+an∈R[X]un polynôme de degré n≥2. Soit z ∈C.
a. Soit(z1;z2)∈C2. Comment calculer les parties réelle et imaginaire de z1z2
en fonction de celles de z1 et de z2 en n’effectuant que trois multiplications de nombres réels (on pourra considérer (Rez1 + Imz1)(Rez2−Imz2)) ?
b.Soitz ∈C. Combien de multiplications de nombres réels effectue-t-on pour évaluerReP(z)etImP(z)en appliquant l’algorithme de Horner et la questiona?
1
c.On note (b1;· · ·;bn)et(c1;· · ·;cn) lesn-uplets définis par b1 =a0, c1 =a1, bk+1 = ck+ 2bkRez et ck+1 = ak+1 −bk|z|2 pour tout k ∈ {1;· · ·;n−1}. Mon- trer que le reste de la division euclidienne deP parX2−2XRez+|z|2estbnX+cn. d. Comment évaluer ReP(z) et ImP(z) en n’effectuant que 2n+ 2 multipli- cations de nombres réels ?
Exercice 7
Factoriser le polynôme X5+X+ 1 dans F2[X].
2
