Année universitaire 2011-2012 Licence 3 de mathématiques Algorithmique algébrique 1 - Devoir à la maison 2 Exercice 1 Soit p un nombre premier. a. Montrer la congruence (X + 1)

Année universitaire 2011-2012 Licence 3 de mathématiques

Algorithmique algébrique 1 - Devoir à la maison 2 Exercice 1

Soit p un nombre premier.

a. Montrer la congruence (X+ 1)^p ≡X^p+ 1 mod p.

b. Soient (a;b) ∈N² et (r;s) ∈ {0;· · ·;p−1}². En considérant le coefficient de degrébp+sdu polynôme(X^p+1)^a(X+1)^r, prouver queC^bp_ap+r^+s ≡C^b_aC^s_rmodp.

c. Soient n et k deux entiers tels que 0 ≤ k ≤ n. On écrit n = a_r· · ·a0

et k = b_s· · ·b0 en base p. Montrer que : p divise C^k_n si et seulement s’il existe i∈ {0;· · ·;s} tel que b_i > a_i.

Exercice 2 : algorithme de Faddeev-Souriau

Soient n ≥ 1 et A0 ∈ Mn(C). On construit par récurrence les suites (A_k)k≥0

et(t_k)k≥1 en posant t_k = 1

kTr(A_k−1)et A_k=A0(A_k−1−t_kI_n) pour tout k≥1.

a. Montrer que kt_k = Tr(A^k0)− Xk−1

j=1

t_jTr(A^k−j0 ) pour toutk ≥1.

b. En déduire que le polynôme caractéristique de A0 vaut Xⁿ− Xn

k=1

t_kX^n−k (on pourra utiliser les formules de Newton).

c.Montrer que A_n = 0.

1