Licence de mathématiques et informatique - 2010-2011
Algorithmique algébrique
Devoir surveillé
====================
1 Résoudre dans Zle système
12x−12≡6 mod33 7x+ 6≡7 mod13 6x−21≡9 mod54
2 On rappelle la définition et le résultat suivants.
Définition. SoitN un entier composé. Unmenteur de FermatpourN est un élément xde(Z/NZ)∗ tel que xN−1 = 1.
Théorème. [Critère de Korselt] Un entier composéN est un nombre de Carmichaël si et seulement si N est sans facteur carré et si pour tout nombre premierp divisantN, p−1divise N −1.
1. Trouver tous les menteurs de Fermat pour 15. Vérifier qu’il y en a exactement ϕ(15)/2.
2. Soitp un nombre premier tel que 2p−1 est premier. Soit N =p(2p−1).
(a) Montrer que N n’est pas un nombre de Carmichaël.
(b) Calculerϕ(N)en fonction de p.
(c) Soit x un entier premier à N. Montrer que s’il existe un entier y tel que x≡y2 mod 2p−1,
alors
xp−1 ≡1 modN.
En déduire que dans ce cas, la classe x dex dans Z/NZ est un menteur de Fermat pour N.
(d) Soit l un nombre premier. Montrer qu’il y a exactement(l−1)/2 carrés dans(Z/lZ)∗. (e) Montrer qu’il y a au moins ϕ(N)/2menteurs de Fermat pour N.
(f) En déduire qu’il y en a exactement ϕ(N)/2.
