Algorithmique algébrique

Licence de mathématiques et informatique - 2010-2011

Algorithmique algébrique

FEUILLE D’EXERCICES N^◦ 9

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1 Algorithme de Karatsuba. Comment fait l’algorithme de Karatsuba pour multiplierX³+ 2X²+ 2X+ 1par X²+X+ 3?

2 Relations de Newton

SoitP =anXⁿ+a_n−1Xⁿ⁻¹+· · ·+a0 un polynôme de K[X]de degré n. On noteαi les racines de P dans une cloture algébrique deK. On noteSk les sommes de Newton associées àP, c’est-à-dire :

Sk=

n

X

i=1

αⁱ.

On se propose de montrer que pourk≤non a les relations

anSk+a_n−1S_k−1+· · ·+a_n−k+1S1+ka_n−k= 0, et que pourk≥n, on a les relations

anSk+a_n−1S_k−1+· · ·+a0S_k−n= 0.

1. Pourk≥1, montrer directement les relations attendues en écrivant que pour toute racineαidePon aP(αi) = 0.

2. Supposons maintenantk≤n. On a

P⁰ =

n

X

i=1

Pi où Pi= P X−αi

.

Montrer que

P_i=

n−1

X

k=0

(a_nα^k_i +a_n−1α^k−1_i +· · ·+a_n−k+1α_i+na_n−k)X^n−k−1

et en déduire les relations cherchées.

3 Localisation d’une racine d’un polynôme DansC[x], on considère le polynôme

P(x) =anxⁿ+· · ·+a1x+a0,

où an 6= 0et a0 6= 0. On note r1, . . . , rn les racines deP dansC. On va montrer qu’on peut trouver des réels R, qui peuvent s’exprimer en fonction des coefficients de P, tels qu’il existe au moins une racine de P dans{z∈C|z| ≤R}.

1. Soit

Q(x) =xⁿP(1/x).

Montrer que

Q(x) =a₀xⁿ+· · ·+a_n−1x+a_n,

que le degré deQest égal ànet que ses racines sont1/r1, . . . ,1/rn. Pour tout entierksupérieur ou égal à1, on pose

sk=

n

X

j=1

1 r_j^k. 2. Soit

ρ= min{|rj| : j∈ {1, . . . , n}}.

Montrer que pour tout entier naturel non nulk,

|sk| ≤nρ^−k.

3. En déduire qu’il existej∈ {1, . . . , n} tel que pour toutk,

|rj| ≤ n

|sk| 1/k

.

On a alors atteint le but cherché, puisque d’après l’exercice précédent, on peut exprimer les sommessk en fonction des coeffivients deQ, donc deP.