Universit´e Pierre et Marie Curie Ann´ee universitaire 2009/2010
Licence Sciences et Technologies Unit´e LM367
Examen du 6 janvier 2010
Exercice 1. (Question de cours).
Enoncer le th´eor`eme des z´eros isol´es.´
Exercice 2. Soient f et g deux fonctions enti`eres (i.e. holomorphes sur C tout entier) telles que pour tout z ∈ C, |f(z)| ≤ |g(z)|. Montrer qu’il existe une constante c∈C telle que pour tout z∈C, f(z) =cg(z).
Exercice 3. Soient aet b deux r´eels strictement positifs. Calculer Z +∞
0
dx (a+bx2)3.
Exercice 4. Soit f ∈ O(C) une fonction enti`ere de la variable complexe z= x+iy (x= Rez, y= Imz∈R) telle que ∀z∈C,|f(x+iy)| ≤e|y|. 1. Calculer e−2|y||sin(x+iy)|2. En d´eduire que pour tout ε > 0, il existe une
constanteC(ε)>0 telle que pour tout nombre complexe z on ait : (∀n∈Z, |z−nπ| ≥ε)⇒ |sinz| ≥ C(ε)e|Im(z)|.
2. On fixe z ∈ C rπZ. Montrer que u 7→ g(u) = f(u)
sinu · 1
(u−z)2 d´efinit une fonction m´eromorphe surCet calculer les r´esidus de g en chacun de ses pˆoles.
3. Soit z∈C rπZ, calculer l’int´egrale
In(z) = Z
γn
f(u)
sinu· du (u−z)2
sur le lacet γn : [−π, π]∋t7→ (n+ 1
2)πeit avec n∈N tel que|z|<(n+ 1 2)π.
En d´eduire que pour tout z∈C rπZ, d
dz f(z) sinz =−
n=+∞X
n=−∞
(−1)nf(nπ) (z−nπ)2 .
4. Montrer que la s´erie du second membre est normalement convergente sur toute partie compacte K contenue dans C rπZ.
5. Montrer que si f ∈ O(C) est nulle aux points nπ (n∈ Z), et v´erifie |f(z)| ≤ e|Imz| alors il existe c∈Ctel que pour tout z∈C, f(z) =csinz.
