ANNÉE UNIVERSITAIRE 2009/2010 Session 1 d'Automne Parcours : Mathématiques et Informatique MHT53 UE MH531 : Algorithmique algébrique 1

ANNÉE UNIVERSITAIRE 2009/2010 Session 1 d'Automne

Parcours : Mathématiques et Informatique MHT53 UE MH531 : Algorithmique algébrique 1

Responsable : M. Jean-Paul Cerri Date : 17/12/2009. Durée : 1h30.

Barème indicatif : Exercice 1 (3 points), Exercice 2 (5 points), Exercice 3 (5 points), Exercice 4 (7 points).

Exercice 1 [Arithmétique élémentaire]

On cherche à déterminer tous les entiers n >0qui vérient n|2ⁿ−1. Soit n un tel entier que l'on supposera diérent de 1 dans les deux premières questions, et soit p le plus petit facteur premier de n.

1) Montrer que n et psont impairs et en déduire que 2appartient à (Z/pZ)^∗. On note m l'ordre de 2dans le groupe multiplicatif (Z/pZ)^∗.

2) Montrer que m divise p−1. 3) Montrer que m divise n.

4) En déduire les solutions du problème.

Exercice 2 [Pgcd de deux polynômes]

1) Calculer dans Q[X] le pgcd de X⁸−1et X⁶−1.

2) Plus généralement, soientm etn deux entiers naturels non nuls. Montrer que X^pgcd(m,n)−1 divise X^m−1 etXⁿ−1dans Q[X]?

3) En se servant d'une relation de Bezout entre m et n montrer que dans Q[X]

le pgcd de X^m−1 etXⁿ−1 est en fait X^pgcd(m,n)−1. Exercice 3 [Système polynomial]

On considère dans C[X, Y] les polynômes

P(X, Y) =X²−XY +Y²−1 et Q(X, Y) = X²+ 2Y²−X−2.

1) Calculer le résultant de P(X, Y) et Q(X, Y) par rapport à la variable X . 2) Trouver les couples (x, y)∈C² vériant P(x, y) = 0 etQ(x, y) = 0.

Exercice 4 [Vers le symbole de Legendre]

Soit p un premier impair. On considère dans Z/pZ[X] le polynôme P(X) = X^(p−1)/2−1. On note G l'ensemble des carrés non nuls deZ/pZ.

1) Montrer que tout élément de G est racine deP(X) et en déduire qu'il y a au plus (p−1)/2 éléments dans G.

2) On note x la classe dex dans Z/pZ. Montrer que l'application f dénie par : f : {1, 2, . . . , (p−1)/2} −→ Z/pZ

α 7−→ α²

est injective.

3) En déduire qu'il y a exactement (p−1)/2éléments dans G et que P(X) = Y

α∈G

(X−α).

4) Montrer que dans Z/pZon a

−1 est un carré ⇐⇒p≡1 mod 4.

5) Soit H l'ensemble des éléments non nuls de Z/pZ qui ne sont pas des carrés.

Quel est le cardinal de H?

6) Soit β un élément deH. Montrer que H =βG.

7) Montrer que G est un groupe pour la multiplication, que GH = H et que HH =G.¹

1Ici AB={ab; (a, b)∈A×B}