Année universitaire 2011-2012 Licence 3 de mathématiques Algorithmique algébrique 1 - Feuille 9 Exercice 1 Soit P = X

Année universitaire 2011-2012 Licence 3 de mathématiques

Algorithmique algébrique 1 - Feuille 9 Exercice 1

Soit P =Xⁿ+a₁Xⁿ⁻¹+· · ·+a_n∈C[X] de degré n ≥1. Soit z ∈C tel que

|P(z)|<1. Appliquons l’algorithme de Horner : on pose b₀ = 1etbk=b_k−1z+ak

pour toutk ∈ {1;· · ·;n}.

a. Montrer qu’il existe j ∈ {1;· · ·;n} tel que |bj−1| ≥1 et|bj|<1. b. En déduire que|z|<1 + max(|a1|;· · ·;|an|).

Exercice 2

Soient α₁,· · ·, αddes nombres complexes distincts deux à deux et m₁,· · ·, mr

des entiers ≥ 1. On pose P₀ =

d

Y

i=1

(X −α_i)^mi et on construit par récurrence la suite (Pn)n≥0 de polynômes en posant P_n =P₀⁽ⁿ⁾∧P_n−1 pour tout n≥1.

a. Montrer que Pn = Y

mi≥n+1

(X−αi)^mi−n pour tout n≥0.

b. En déduire que Y

mi=n

(X−αi) = P_n−1P_n+1

P_n² pour toutn ≥1. Exercice 3

Trouver tous les a ∈ C tels que l’une des racines complexes de X³−7X+a soit le double d’une autre.

Exercice 4

Trouver tous les triplets (x;y;z)∈R^∗3 vérifiant











x+y+z = 5 x²+y² +z² = 15

1 x+ 1

y +1 z = 5 .

Exercice 5

1

Soit n un entier ≥1. On poseP = (X+i)²ⁿ+ (X−i)²ⁿ. a. Trouver toutes les racines complexes de P.

b. Calculer

n

X

k=1

1 tan²³

π^2k−1_4n ´ puis

n

X

k=1

1 sin²³

π^2k−1_4n ´. c.En déduire la valeur de

+∞

X

k=1

1 (2k−1)². Exercice 6

Soient n ≥ 1 et (a1;· · ·;a_n) ∈ Zⁿ. On note σ₁,· · ·, σ_n les valeurs des poly- nômes symétriques élémentaires en (a1;· · ·;an). Montrer que si a₁,· · ·, an sont premiers entre eux, alors σ₁,· · ·, σ_n sont premiers entre eux.

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