Université Bordeaux Algèbre 4 – Licence 3
Mathématiques Année 2014–2015
FEUILLE D’EXERCICES no9 Résultant, discriminant Exercice 1 –
1) Soient K un corps et f(X) ∈ K[X] un polynôme de degré n > 1, que l’on suppose unitaire. Soientα1, . . . , αn les racines def(X)dans une extension de K.
On noteS1, . . . , Sn−1lesn−1premières sommes de Newton desαi(Sj =Pn i=1αji).
Montrer que
disc(f(X)) = det
n S1 S2 · · · Sn−1 S1 S2 S3 · · · Sn
... ... ... ... Sn−1 Sn Sn+1 · · · S2n−2
.
2) Soient p, q ∈ R et P(X) = X3+pX +q. Calculer de deux façons différentes disc(P(X)) et en déduire une condition nécessaire et suffisante pour que P(X) ait une racine double dans C.
Exercice 2 –
Soient n un entier > 2 et z1, z2, . . . , zn les racines n-ièmes de l’unité dans C. Calculer Q
i6=j(zi−zj).
Exercice 3 –
Soit f(X) ∈Z[X] unitaire, de degré > 2, sans racine multiple dans C. Montrer qu’il existe dans C deux racines x ety de f(X) vérifiant |x−y|>1.
Exercice 4 – Déterminer tous les couples (x, y)∈R2 vérifiant x2+xy+ 2y2 = 8
2x2−3xy+y2 = 3
Exercice 5 –
1) Soient P(X), Q(X) ∈ Q[X] unitaires. Soient α1, α2 ∈ C vérifiant P(α1) = Q(α2) = 0.
On pose U(X, Y) = P(X), V(X, Y) = Q(Y −X) etR(Y) =ResX(U, V)∈Q[Y].
Montrer que R(α1+α2) = 0 et que R(Y)6= 0.
2) Montrer de même qu’il existe S(Y)∈Q[Y]\ {0} tel que S(α1α2) = 0.
3) Trouver un polynôme P(X)∈Z[X] unitaire annulant31/2+ 21/3.
Exercice 6 –
Soient p, q >1, P(X, Y), Q(X, Y)∈C[X, Y] vérifiant
P(X, Y) = Yp+
p
P
i=1
Pi(X)Yp−i, degPi 6i pour tout i, Q(X, Y) = Yq+
q
P
i=1
Qi(X)Yq−i, degQi 6i pour touti.
Soient Z = {(x, y) ∈ C2; P(x, y) = Q(x, y) = 0}, π : C2 → C la projection (x, y)7→x etR(X) = ResY(P, Q)∈C[X].
1) Montrer que π(Z)est l’ensemble des racines de R(X).
2) Prouver que degR(X)6pq et en déduire que si R(X)6= 0, alors π(Z) est de cardinal 6pq.
3) On suppose en outre que P(X, Y) et Q(X, Y) sont premiers entre eux dans l’anneau factoriel C[X, Y]. Que peut-on dire du cardinal de Z?
