Exercice 2 (3.pt) E(X

Universit´e Pierre et Marie Curie, Paris 6 Valentin KONAKOV

Correction de l’examen d’analyse et r´egression lin´eaire LM347

Lundi 11 juin 2007

Exercice 1 - Question de cours(5.pt)

• La loi est donn´ee parP(X =k) =C_n^kp^k(1−p)^n−k,E(X) =np etVar(X) =np(1−p).

• En utilisant les formules du cours on retrouveE(X^∗₁|X^∗₂) =µ1et var(X^∗₁|X^∗₂) = Σ11. Exercice 2 (3.pt)

E(X) = n!

(n−j)!(j−1)!

Z 1

0

x^j(1−x)^n−j dx

= n!

(n−j)!(j−1)!

(n−j)!j!

(n+ 1)!

(n+ 1)!

(n−j)!j!

Z 1

0

x^j(1−x)^n−j dx

= j

n+ 1. E(X²) = n!

(n−j)!(j−1)!

Z 1

0

x^j+1(1−x)^n−j dx

= n!

(n−j)!(j−1)!

(n−j)!(j+ 1)!

(n+ 2)!

(n+ 2)!

(n−j)!(j+ 1)!

Z 1

0

x^j+1(1−x)^n−j dx

= j(j+ 1) (n+ 1)(n+ 2). Exercice 3 (4.pt)

1. fX,Y(x, y) =_2π¹ expn

−^x2+y₂ ²o

etϕ(t) = expn

−^t21+t₂ ²²o .

Pour calculer E(max(X, Y)) on calcule la densit´eg_max(X,Y)(t) = 2F(t)f(t) o`u F(·) et f(·) sont respectivement la fonction de r´epartition et la densit´e d’une loi normale centr´ee et r´eduite.

E(max(X, Y)) = 2

√2π Z

R

xF(x) exp

−x² 2

dx= 1 π

Z

R

exp −x²

dx= 2

√π.

2. E(X|Y) =E(X) +^cov(X,Y_{V ar(Y)}⁾(Y −E(Y)) =Y. Probl`eme 4 (10.pt)

1.

Eαb =

n

X

i=1

ai(x1, . . . , xn)(α+βxi) =α

n

X

i=1

ai(x1, . . . , xn) +β

n

X

i=1

xiai(x1, . . . , xn) =α,

Eβb =

n

X

i=1

bi(x1, . . . , xn)(α+βxi) =α

n

X

i=1

bi(x1, . . . , xn) +β

n

X

i=1

xibi(x1, . . . , xn) =β

d’o`u le r´esultat.

1

2.

βb^mc = Pn

i=1(xi−x)yi

ns²_x − y ns²_x

n

X

i=1

(xi−x) =

n

X

i=1

(xi−x) ns²_x

yi;

αb^mc = y−xβb^mc=

n

X

i=1

1

n −x(xi−x) ns²_x

yi.

On a

n

X

i=1

b^mc_i (x1, . . . , xn) =

n

X

i=1

(xi−x) ns²_x

= 0,

n

X

i=1

xi

(xi−x) ns²_x

= Pn

i=1x²_i −n(x)² ns²_x = 1,

n

X

i=1

a^mc_i (x₁, . . . , x_n) =

n

X

i=1

1

n−x(x_i−x) ns²_x

= 1− x ns²_x

n

X

i=1

(x_i−x) = 1,

n

X

i=1

x_ia^mc_i (x₁, . . . , x_n) =

n

X

i=1

1

n−x(xi−x) ns²_x

x_i=x−x Pn

i=1x²_i −n(x)² ns²_x = 0,

d’o`u le r´esultat.

3. On a

n

X

i=1

[a_i−a^mc_i ]a^mc_i =

n

X

i=1

a_ia^mc_i −

n

X

i=1

a^mc_i a^mc_i ,

n

X

i=1

aia^mc_i =

n

X

i=1

ai

1

n−x(xi−x) ns²_x

= 1 n− x

ns²_x

n

X

i=1

ai(xi−x) = 1 n+(x)²

ns²_x,

n

X

i=1

a^mc_i a^mc_i =

n

X

i=1

1

n−x(xi−x) ns²_x

2

= 1

n+ x

ns²_x 2

ns²_x= 1 n+(x)²

ns²_x.

n

X

i=1

[b_i−b^mc_i ]b^mc_i =

n

X

i=1

b_ib^mc_i −

n

X

i=1

b^mc_i b^mc_i ,

n

X

i=1

b_ib^mc_i =

n

X

i=1

b_i

(xi−x) ns²_x

= 1 ns²_x,

n

X

i=1

b^mc_i b^mc_i =

n

X

i=1

(xi−x) ns²_x

²

= 1

(ns²_x)²ns²_x= 1 ns²_x,

d’o`u le r´esultat.

4. On a

V ar(α)b = σ²

n

X

i=1

(ai)²=σ²

n

X

i=1

(ai−a^mc_i +a^mc_i )²=σ²

n

X

i=1

h

(ai−a^mc_i )²+ (a^mc_i )²i ,

V ar(bβ) = σ²

n

X

i=1

(bi)²=σ²

n

X

i=1

(bi−b^mc_i +b^mc_i )²=σ²

n

X

i=1

h

(bi−b^mc_i )²+ (b^mc_i )²i .

5. La cons´equence directe de 4).

2