Lemme : Soient E un espace vectoriel euclidien et v ∈ O(E) . Alors Ker (v − Id E ) = [ Im (v − Id E )] ⊥

Décomposition canonique d'une isométrie

Combes, Algèbre et géométrie, page 163

Théorème : Soit f une isométrie de l'espace ane euclidien E n . Notons E l'espace euclidien, direction de E n . Il existe une isométrie g de E n admettant un point xe, et un vecteur − → x ∈ Ker(v f − Id), uniques, tels que f = t ^{− →} _x ◦ g. C'est la seule expression f = t ^{− →} _x ◦ g où g ∈ Aut(E n ) a un point xe et commute avec t ^{− →} _x . Cette décomposition s'appelle la forme canonique de f .

Lemme : Soient E un espace vectoriel euclidien et v ∈ O(E) . Alors Ker (v − Id E ) = [ Im (v − Id E )] ^⊥

Démo du Lemme : Soient − → x ∈ Ker (v − Id E ) et − → y ∈ Im (v − Id E ) . Il existe − → z ∈ E tel que

−

→ y = v( − → z ) − − → z . Utilisons le fait que ^t v = v ⁻¹ car v est orthogonale, et que v ⁻¹ laisse − → x xe. On a ( − → x |− → y ) = ( − → x |v( − → z ) − − → z ) = ( − → x |v( − → z )) − ( − → x |− → z )

= (v ⁻¹ ( − → x )|− → z ) − ( − → x |− → z ) = ( − → x |− → z ) − ( − → x |− → z ) = 0

et donc Ker (v − Id E ) ⊂ [ Im (v − Id E )] ^⊥ . Cette inclusion est une égalité, car d'après le théorème du rang, dim( Ker (v − Id E )) = n − dim( Im (v − Id E )) = dim([ Im (v − Id E )] ^⊥ ) .

Démonstration du théorème :

Soient A ∈ E n et A ⁰ = f (A) . Posons − → a = −−→

AA ⁰ . D'après le lemme, il existe − → x ∈ Ker (v f − Id E ) et − → y ∈ Im (v f − Id E ) tels que − → a = − → x + − → y . Soit − → z ∈ E tel que − → y = v f ( − → z ) − − → z . Vérions que B = A + (−− → z ) est xe par g = t ₋₋ ^→ _x ◦ f .

g(B) = f (B) + (−− → x ) = f (A + (−− → z )) + (−− → x ) = f(A) − v f ( − → z ) − − → x

= A + − → a − v f ( − → z ) − − → x = A + − → y − v f ( − → z ) = A + (−− → z ) = B

Montrons l'unicité de cette décomposition de f . Soit f = t ^{− →} _x

◦ g ⁰ une autre expression, où g ⁰ admet un point xe B ⁰ , et où − →

x ⁰ ∈ Ker (v f − Id E ) . Puisque f (B ⁰ ) = B ⁰ + − →

x ⁰ et f(B) = B + − → x , on a v f ( −−→

BB ⁰ ) = −−→

BB ⁰ + − →

x ⁰ − − → x . Cela montre que − →

x ⁰ − − → x ∈ Im(v f − Id E ). On a aussi − →

x ⁰ − − → x ∈ Ker(v f − Id E ), et donc − →

x ⁰ − − → x = − →

0 d'après le lemme. Ensuite, la relation f = t ^{− →} _x ◦ g = t ^{→ −}

x

◦ g ⁰ donne g = g ⁰ . Pour tout M ∈ E n , en tenant compte du fait que − → x est xe pour v f = v g , on a

g ◦ t ^{− →} _x (M ) = g(M + − → x ) = g(M ) + v g ( − → x ) = g(M ) + − → x = (t ^{→ −} _x ◦ g)(M ) Cela prouve que t ^{→ −} _x et g commutent.

Réciproquement, si f = t ^{− →} _x ◦ g, où g a un point xe B, et où t ^{→ −} _x et g commutent, on a B + − → x = g(B) + − → x = (t ^{− →} _x ◦ g)(B) = (g ◦ t ^{− →} _x )(B )

= g(B + − → x ) = g(B) + v g ( − → x ) = B + v g ( − → x )

On voit que v f ( − → x ) = − → x . L'unicité déjà démontrée, concernant cette propriété, montre que f = t ^{− →} _x ◦ g est la décomposition précédente.

Application : Soit f une isométrie de l'espace euclidien E n . Supposons que f ⁿ , où n ≥ 2, ait un point xe. Alors f a un point xe.

En eet, supposons que f ⁿ ait un point xe. D'après le théorème, f = t ^{→ −} _u ◦ g . Puisque t ^{− →} _u et g commutent, on a f ⁿ = t _n ^{→ −} _a ◦ g ⁿ avec t _n ^{− →} _a et g ⁿ qui commutent et g ⁿ qui a un point xe car g en a un.

D'après l'unicité de la forme canonique de f ⁿ , si f ⁿ a un point xe, alors t _n ^{− →} _a = t ^{→ −} ₀ . Ainsi − → a = − → 0 et f = g a un point xe.

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