Math´ematiques 3 DM1 CUPGE 2`eme ann´ee - automne 2020
Devoir Maison 1 - ` a rendre le 12 octobre
La clart´e et la pr´ecision de la r´edaction auront une part importante dans le barˆeme.
Exercice 1. Un calcul de d´eriv´ee ?.
Soit f : R → R la fonction x 7→ 1+xx36. Montrer que f est 15 fois d´erivable en 0 et d´eterminer f(15)(0).
Exercice 2. Int´egrales de Bertrand au voisinage de z´ero.
Soient α, β ∈R.
1. Soit ξ <1/e. Montrer que Z 1/e
ξ
dx
xα|ln|β(x) = Z 1ξ
e
dt t2−αlnβ(t) 2. En d´eduire la caract´erisation de la convergence de l’int´egrale
Z 1/e
0
dx
xα|ln|β(x) vue en cours.
Exercice 3. Int´egrale impropres.
Etudier la convergence des int´´ egrales impropres suivante : 1.
Z +∞
0
sin 1
t
dt.
2.
Z +∞
0
sint t dt.
3.
Z +∞
0
√tsin(1/t2) ln(1 +t) dt.
4.
Z +∞
1
ln(t2−t) (1 +t)2 dt.
Exercice 4. Int´egrale `a param`etre.
Soit f une fonction `a valeurs r´eelles continue sur [0,+∞[. D´emontrer que la fonction G : [0,+∞[→R d´efinie par : pour tout x∈[0,+∞[,
G(x) = Z x
√x
f(t)dt
est de classeC1 sur ]0,+∞[, puis trouver une condition n´ecessaire et suffisante pour qu’elle soit d´erivable en 0.
Exercice 5. Ensembles adjacents et s´eries altern´ees.
Soient A et B deux sous-ensembles non vides de R. On suppose que pour tout a ∈ A et tout b∈B on aa 6b.
1. Justifier l’existence de supA et infB.
2. On suppose de plus que A et B sont adjacentes : pour tout > 0, il existe a ∈ A et b∈B tels que |a−b|< . Montrer qu’alors supA= infB. La r´eciproque est-elle vraie ? 3. Soit (un) une suite d´ecroissante de r´eels positifs. Soit (Sn) la suite des sommes partielles
de la s´erie de terme g´en´eral (−1)nun, soit B ={S2n :n ∈N} etA={S2n+1: n∈N}.
a) Montrer que pour tout a∈A et toutb ∈B on a a6b.
b) Donner une condition n´ecessaire et suffisante pour que supA= infB.
Universit´e de Paris 1 UFR de math´ematiques
