Lycée La Martinière Monplaisir Année 2021/2022
MPSI - Mathématiques le 21 octobre
Devoir à la maison n° 6
À rendre le 12 novembre
I. Un exercice
Soit u∈C, considérons l’équation
z2 + 3iz+u(i−u) = 2. (E)
1) Déterminer les solutions de (E). On notera z1 etz2 ces solutions.
On vérifiera la correction des calculs en simplifiant les quantitész1z2 et z1+z2. Attention : les questions suivantes sont largement indépendantes.
On noteM1,M2 etU les points d’affixes respectivesz1,z2 etu, considérés dans un plan muni d’un repère orthonormé (O,−→ı ,−→).
2) Déterminer le lieu des points U pour lesquels : a) M1, M2 etU sont alignés.
b) M1, M2 etU forment un triangle rectangle en U.
3) Déterminer les valeurs deu pour lesquelles z1z2 = 10i.
4) a) Déterminer le lieu des points U pour lesquels z1z2 est réel.
On trouvera la réunion de deux ensembles simples.
b) Discuter en fonction de la valeur dez1z2 l’appartenance deU à l’un ou l’autre des deux ensembles trouvés précédemment.
5) Déterminer le lieu des points U pour lesquels z1z¯2 est imaginaire pur.
II. Expression intégrale de la longueur d’une courbe
Pour toute fonction f : [a, b]→Rde classe C1, on note : L(f) =
Z b a
q
1 + (f0(t))2dt ,
que l’on admet être une expression intégrale de la longueur de la courbe représentative def.
1) Vérifier la formule donnantL(f) pour f définie sur [0,1] parf(t) = t.
2) Calculer L(f) pour f définie sur [0,1] par f(t) = ch(t).
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3) Un exemple de calcul de longueur d’un arc de courbe.
a) Calculer L(f) pour f définie sur
"
0; 1
√2
#
par f(t) = √ 1−t2.
b) Retrouver le résultat de la question précédente sans calcul, par des considé- rations géométriques.
4) a) Résoudre dans Rl’équation sh(x) = 2.
b) Si x∈R, donner ch(2x) et sh(2x) en fonction de ch(x) et de sh(x) (formules de duplication hyperboliques).
c) Soit f définie sur [0,1] par f(t) = t2. Calculer L(f), en s’inspirant de la question 2).
— FIN —
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