Lycée Public Chrestien de Troyes CPGE PC Nour-Eddine RHARIF Page 1 Exercice 1:
1. Pour tout 𝑛 ∈ ℕ∗, on pose 𝐼 = ∫ 𝑡 𝑒 𝑑𝑡.
1.1 Montrer que la suite (𝐼 ) est monotone et bornée et en déduire qu’elle est convergente.
1.2 Déterminer lim → 𝐼
1.3 Former un équivalent simple de 𝐼 de la forme 𝜆𝑛 lorsque 𝑛 → ∞ (𝛼 𝑒𝑡 𝜆 sont des réels à déterminer).
2. Pour tout 𝑛 ∈ ℕ∗, on pose 𝐽 = ∫ (ln 𝑥) 𝑑𝑥.
Déterminer :
lim→ 𝑛𝐽 3. Pour tout 𝑛 ∈ ℕ, on pose
𝐾 = 𝑡 𝑒 𝑑𝑡 3.1 Montrer que pour tout 𝑛 ∈ ℕ, 𝐾 est une intégrale convergente.
3.1 Donner une relation de récurrence entre 𝐾 et 𝐾 3.2 Donner explicitement 𝐾 en fonction de 𝑛 Exercice 2 :
En utilisant le théorème de convergence dominée, calculer :
lim→ 1 +𝑥
𝑛 𝑒 dx
Exercice 3(comatrice)
1. soit 𝑛 un entier tel que 𝑛 ≥ 2. Soit 𝐴 ∈ ℳ (𝕂)
On appelle comatrice de 𝐴 , la matrice 𝐴 ∈ ℳ (𝕂) définie par :
∀(𝑖, 𝑗) ∈ ⟦1, 𝑛⟧ , 𝑏 = (−1) Δ
Où Δ est le déterminant de la sous-matrice de 𝐴, obtenu en supprimant la ligne 𝑖 et la colonne 𝑗 1. Montrer que
𝐴 𝐵 = 𝐵 𝐴 = (det 𝐴)𝐼 2. Montrer que si 𝐴 est inversible, alors :
𝐴 = 1
det 𝐴 𝐵 3. Montrer que :
det 𝐵 = (det 𝐴)
Exercice 3 : relations entre coefficients racines d’un polynôme scindé.
Soit le polynôme 𝑃 ∈ 𝕂[𝑋] non constant.
𝑃 = 𝑎 + 𝑎 𝑋 + ⋯ + 𝑎 𝑋 𝑎 , 𝑎 , … 𝑒𝑡 𝑎 sont les coefficients du polynôme 𝑃
avec 𝑎 ≠ 0 et 𝑑𝑒𝑔(𝑃) = 𝑛 et 𝑎 est appelé le coefficient dominant de 𝑃
On suppose que 𝑃 est scindé. donc 𝑃 = 𝑎 ∏ (𝑋 − 𝜆 )
Avec 𝜆 , … , 𝜆 ∈ 𝕂 les racines de 𝑃 chacune répétée autant de fois que son ordre de multiplicité.
DM6 PC
Lycée Public Chrestien de Troyes CPGE PC Nour-Eddine RHARIF Page 2 1. Exprimer
𝜆 𝑒𝑡 𝜆
En fonction des coefficients du polynôme 𝑃
2. Cas particulier 𝑛 = 3 : On suppose que 𝑑𝑒𝑔(𝑃) = 𝑛
Donner une troisième relation entre les racines de 𝑃 et ses coefficients 𝑎 , 𝑎 , 𝑎 𝑒𝑡 𝑎
3. Application : Déterminer tous les nombres complexes 𝑎, 𝑏, 𝑐 tels que
|𝑎| = |𝑏| = |𝑐| = 1 𝑎𝑏𝑐 = 1 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 1
