Corrigé Devoir maison n°1 Exercice n° 136 page 33 : 1. Notons 

Corrigé Devoir maison n°1

Exercice n° 136 page 33 :

1. Notons P_n:7 | 2³ⁿ−1.

On a ₂^3×0₋₁₌₀ or 7 divise 0 d'où P₀ est vraie.

Supposons P_n vraie à un certain rang p, alors 7 | 2^3p−1, d'où il existe un entier relatif q tel que : ₂^3p_−1=7q et donc il existe un entier relatif q tel que : ₂^3p_=7q1.

On a donc2^3p1=2^3p3=2^3p×2³=87q1=78q1

Soit 2^3p1−1=78q, or 8q∈ℤ, d'où 7 | 2^3p1−1, c'est-à-dire P_n vraie au rang p+1.

Conclusion : Par récurrence, P_n vraie pour tout n∈ℕ.

De plus 2^3n1−2=2×2³ⁿ−2×1=22³ⁿ−1, or 7 divise 2³ⁿ−1 d'où 7 divise 22³ⁿ−1 c'est-à-dire 7 divise 2^3n1−2,

et 2^3n2−4=42³ⁿ−1, or 7 divise 2³ⁿ−1 d'où 7 divise 42³ⁿ−1 c'est-à-dire 7 divise 2^3n2−4.

2. Soit N un entier naturel alors N s'écrit 3n ou 3n1 où 3n2 (restes possibles de la division euclidienne de N par 3 : 0, 1 ou 2) On en déduit que 2^N=2³ⁿ ou 2^N=2^3n1 ou 2^N=2^3n2.

D'après 1. :

Si N=3n, alors il existe q∈ℤ tel que : ₂^N_=7q1 d'où le reste de la division euclidienne de 2^N par 7 est 1.

Si N=3n1, alors il existe q∈ℤ tel que : ₂^N_=7q2 d'où le reste de la division euclidienne de 2^N par 7 est 2.

Si N=3n2, alors il existe q∈ℤ tel que : ₂^N_=7q4 d'où le reste de la division euclidienne de 2^N par 7 est 4.

3. Soit p un entier naturel, A_p=2^p2^2p2^3p

a . Si p=3n alors A_p=2³ⁿ2^23n2^33n=2³ⁿ2^32n2^33n=7q₁17q₂17q₃1. d'où A_p=7q₁q₂q₃3, d'où le reste de la division euclidienne de A_p par 7 est 3.

b . Si p=3n1 alors

Ap=2^3n12^{23n1}2^{33n1}=2^3n12^{32n2}2^{33n1}=7q127q247q31. d'où A_p=7q₁q₂q₃1, d'où le reste de la division euclidienne de A_p par 7 est 0, c'est-à-dire 7 | A_p.

c . Si p=3n2 alors

Ap=2^3n22^{23n2}2^{33n2}=2^3n22^{32n11}2^{33n2}=7q147q227q31. d'où A_p=7q₁q₂q₃1, d'où le reste de la division euclidienne de A_p par 7 est 0, c'est-à-dire 7 | A_p.

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