CORRIGE DEVOIR MAISON N° 10 EXERCICE 1

CORRIGE DEVOIR MAISON N° 10 EXERCICE 1

1. f ‘ (x) = ( − 4 x )e

^2x

, f ( x ) (

^{( )2}

= − − 4 8 x )e

^2x

et f ( x ) (

^{( )3}

= − − 16 16 x )e

^2x

.

2. Montrons par récurrence que pour tout entier n ≥ 1 , f ( x )

^{( n )}

= 2 1

ⁿ

( − − n 2 x )e

^2x

: pour n = 1, la propriété est vraie.

Supposons que pour un n , f ( x )

^{( n )}

= 2 1

ⁿ

( − − n 2 x )e

^2x

et montrons que

1

2

1

1 1 2

2

2

1

2

2

( n ) n x n x

f

⁺

( x ) =

⁺

( − + − ( n ) x )e =

⁺

( n − − x )e : On a

1

2 2

2

2 1 2 2

2

2 2 2 2 4

2

2

1

2

2

( n ) ( n ) n x n x n x n x

f

⁺

( x ) ( f = )'( x ) = ( − )e + ( − − n x ) e = ( − + − n − x )e =

⁺

( n − − x )e . D’où la récurrence...

3. a) La courbe représentative de f

^{( n )}

a une tangente horizontale en M

_n

( x

_n

; y

_n

) si f

^{( n )+1}

( x )

_n

= 0 et f ( x ) y

^{( n )} _n

=

_n

; On a f

^{( n )+1}

( x ) = 2

ⁿ⁺¹

( n − − 2 x )e

^2x

= 0 si

2 x = − n , donc

n

2

x = − n et y

_n

= f ( x )

^{( n )} _n

= 2

ⁿ

( e )

⁻ⁿ

a) On a pour tout n ≥ 1 ,

2

2

4 4 2 2

n n

x n n

n n

n n

x n

e e e

e y

− −

−

− −

= = = = , donc

les points M

n

appartiennent bien à la courbe Γ d’équation

2

4

x x

y = e .

b) On a

n

2

x = − n , donc la suite ( x )

_n

est une suite

arithmétique de raison 1

− 2 . Cette suite tend vers -∞.

c) On a 2 2

n

n n

y

n

e e

−

 

= =     , donc la suite ( y )

_n

est une suite géométrique de raison 2

e . La raison 2

e est strictement comprise entre 0 et 1 donc la limite de cette suite est 0.

EXERCICE 2

La fonction f est définie sur IR par f ( x ) ( x =

²

+ − x 1 )e

^x

. On note f

^{( )1}

= f ' , f

^{( )2}

= f '' , f , f

^{( )3 ( )4}

,... les dérivées successives de f.

1. f '( x ) ( x =

²

+ 3 x )e

^x

, f ''( x ) ( x =

²

+ 5 x + 3 )e

^x

.

2. a) Montrons par récurrence que pour tout entier n ≥ 1 , f ( x ) ( x

^{( n )}

=

²

+ a x b )e

n

+

n ^x

avec a

n

= a

n₋1

+ 2 et

1 1

n n n

b = b

₋

+ a

₋

: pour n = 1, on a f '( x ) ( x =

²

+ 3 x )e

^x

donc avec a

1

= = + 3 a

0

2 et b

1

= = + 0 a

0

b

0

, donc la propriété est vraie pour n = 1. Supposons que pour un n ≥ 1 , f ( x ) ( x

^{( n )}

=

²

+ a x b )e

n

+

n ^x

avec a

n

= a

n₋1

+ 2 et b

n

= b

n₋1

+ a

n₋1

et

montrons que

^{1 2} 1 1

( n ) x

n n

f

⁺

( x ) ( x = + a x b )e

₊

+

₊

avec a

n₊1

= a

n

+ 2 et b

n₊1

= + b

n

a

n

:

1

2

2 2

2

( n ) ( n ) x x x

n n n n n n

f

⁺

( x ) ( f ( x ))' ( x a )e = = + + ( x + a x b )e + = ( x + ( a + )x ( b + + a ))e . La récurrence est bien démontrée...

b) a

1

= 3 , b

1

= 0 et a

n₊1

= a

n

+ 2 , b

n₊1

= + b

n

a

n

; on montre par récurrence que pour tout n ≥ 1 , a

_n

et b

_n

sont des entiers relatifs : la somme de deux entiers relatifs est un entier relatif ...

3. a) On a a

₁

= 3 et a

_n+1

= a

_n

+ 2 donc la suite ( a )

_n

est une suite arithmétique de raison 2 ; pour tout n ≥ 1 , a

n

= 2 ( n − + = 1 ) 3 2 n + 1 . b) On a, pour tout n ≥ 1 :

1 1 1 2 2 1 2 3 3

n n n n n n n n n n

b = a

₋

+ b

₋

= a

₋

+ a

₋

+ b

₋

= a

₋

+ a

₋

+ a

₋

+ b

₋

=

1 2 2 1 1

n n

... a

₋

a

₋

... a a b

= = + + + + + . Comme b

₁

= 0 , on a bien

1 2 2 1

n n n

b = a

₋

+ a

₋

+ + + ... a a .

Donc b

_n

est égale à la somme des n-1 premiers termes d’une suite arithmétique, donc , pour tout n ≥ 1 ,

2

1 1

1 1

2 1 1 3 1

2 2

n n

n n

b = − ( a

₋

+ a ) = − ( ( n − + + ) ) n = − .

-4 -2 o

-3 -2 -1 M 1 1 M 2 M 3 M 4 M 5 M 6 M 7

y

-4 -2 o

-1

1

2

3

4

5