CORRIGE DEVOIR MAISON N° 11 TERMINALES S 5 EXERCICE 1

CORRIGE DEVOIR MAISON N° 11 TERMINALES S 5 EXERCICE 1

1. lim f ( x ) x 0

₊

→ = +∞ car ²

0

lim(ln( x )) x

₊

→ = +∞ et

0

1 lim x

x

→

+

= +∞ . _x lim f ( x ) 0

→+∞ = car

ln x 2

f ( x ) x

 

=  

  et

2 0

x x

ln( x ) ln( x )

lim lim

x x

→+∞ = →+∞ = .

2. 2 ₂ ² ₂

ln x (ln x ) ln x 2

f '( x ) ( ln x )

x x

= − = − s’annule en 1 et

en e ² d’où le tableau de variations sur ]0 ; + ∞[ :

4. On pose u( x ) ln x = et v'( x ) 1 ₂

= x , v( x ) 1 x

= − ; d’où

2 2 2 2

1 1 2 1 2 2 2

1 1

1 2 1 1 3

e ln x ln x e e e

I dx dx

x x x e x e

− − −

   

= ∫ =     − ∫ = −     = − ^.

5. On a, pour p ≥ 1 ,

^{2 2 2}

1 1 1

1 1 2 1 2

1

1 1 2

1 1

p p p

e e e p

p p

(ln x ) (ln x )

I dx ( p ) (ln x ) dx ( p )I

x x x x e

+ + +

+

− − −

   

= ∫ =     − ∫   +   = + + ^.

D’où I 2 1 1

2 1 2

2 10

1 1 2

( )I

e e

− +

= + + = − , I 3 2 1

2 2 2

2 38

2 1 6

( )I

e e

− +

= + + = − , I 4 3 1

2 3 2

2 168

3 1 24

( )I

e e

− +

= + + = − .

EXERCICE 2

1. I ( a ) 0 = ∫ 0 ^a e dx ^{− x} = −   e ^{− x}   0 ^a = − 1 e ^{− a} ( car 0 ! = 1 et 0

f ( x ) e = ⁻ x ).

2. a) Pour tout x de I et pour tout n entier naturel non nul, on a :

1

1 ! ! 1

n n

x x

n n n

x x

f '( x ) e ( e ) f ( x ) f ( x )

( n ) n

−

− −

= + − = − −

− et

0 0

f ( ) n = .

b) D’où, pour tout n entier naturel non nul :

[ ]

1 0 1 0 0 !

a n

a a a

n n n n n n

I ( a ) I ( a ) ( f ( x ) f ( x ))dx ( f '( x ))dx f ( x ) a e n

−

− −

− = ∫ − = ∫ − = − = − ^.

c) D’où, pour tout n entier naturel non nul :

1

1 2

! 1 ! !

n n n

a a a

n n n

a a a

I ( a ) I ( a ) e I ( a ) e e

n ( n ) n

−

− − −

− −

= − = − −

− = ... =

0

1 0

! 1 !

k k

k n k n

a a

k k

a a

I ( a ) e e

k k

= =

− −

= =

   

−   ∑   = −   ∑   ^.

3. a) Pour tout entier naturel n, et pour tout x de [0 ;1] : 0 ≤ ≤ x 1 entraîne 0 ≤ e ^x ≤ e entraîne 0 ≤ e ^{− x} ≤ e ^{− 1} < 1 et en multipliant les termes par la quantité positive 1

! x n

n , on obtient 0 ≤ 1

!

n

f ( x ) n x

≤ n . b) Donc, en utilisant la propriété : si, sur [a, b] on a f(x) < g(x) alors ^{b b}

a f ( x )dx ≤ a g( x )dx

∫ ∫ ; donc pour tout entier

naturel n : ¹ 0 0

!

n n

u x dx

≤ ≤ ∫ n ^{; or}

1 1 1

0

0

1

! 1 ! 1 !

n n

x dx x

n ( n ) ( n )

 + 

=   +   = +

∫ ; on a, pour tout entier naturel n : 1 1

1 ! 1

( n ) ≤ n

+ + , donc

1 0

1 !

n lim ( n )

→+∞ =

+ puis, par le théorème des gendarmes, la limite de u n est 0.

c) ¹

0

1 1 0

!

k n

n n n

k

lim u lim( e )

k

= −

→+∞ →+∞

=

 

= −   ∑   = ^{, donc 1}

0

1 1

!

k n

n k

lim( e )

k

= −

→+∞ =

  =

 

 ∑  ^{et donc}

0

1

!

k n

n k

e lim k

=

→+∞ =

 

=   ∑   ^{= 1+ 1} + + + + + + 2! 3! 4! 5! 6! ^{1 1 1 1 1} ... ce qui permet d’obtenir des approximations de e par des rationnels : 1957

e ; 720 à 10 ^{− 3} près ; 685

e ; 252 à 10 ^{− 4} près ...

x 0 1 e ² +∞

f ‘ (x) - 0 + 0 -

f(x) +∞

0

4e

⁻2

0