ECS1
Exercices: Dérivées successives
Exercice 1. Soitn∈N∗. Calculer la dérivée n-ième des fonctions suivantes : 1. f :x→(x3+x2+ 1)e−x.
2. g:x→xn−1ln(x)
Exercice 2. Soit p un entier naturel tel que p > 1. Donner l'expression, sans symbole de sommation, des dérivéesp-ièmes des fonctions suivantes :
1. f :x→excos(x) 2. h:x→ 1−x
1 +x
Exercice 3. On dénit la fonctionf par∀x∈R,f(x) = 1 1 +x2. 1. Montrer que la dérivéen-ième def s'écrit sous la forme
f(n)(x) = Pn(x) (x2+ 1)n+1,
oùPn est un polynôme vériant une relation de récurrence que l'on explicitera.
2. Déterminer le degré et le coecient dominant dePn. Exercice 4. Prouver que pour toutu>0,
06 1
√1 +u− 1−u
2
6 3
8u2.
Exercice 5. En utilisant une formule de Taylor, montrer qu'une fonction de classeC∞ surRest une fonction polynôme si et seulement si ses dérivées successives sont nulles à partir d'un certain rang.
Exercice 6. Soitf une fonction de classeC∞surRet vériantf(0) = 0. Soit la fonctionϕdénie pour toutx6= 0parϕ(x) =f(x)
x .
1. Prouver queϕadmet un prolongement par continuité surR, notéψ.
2. Soitn∈N∗. En utilisant les formules de Taylor et Leibniz, prouver que pour tout réel x6= 0,
xn+1ψ(n)(x) = Z x
0
tnf(n+1)(t)dt.
3. Justier que la fonctionf(n+1)est bornée sur l'intervalle[−1,1]. 4. En déduire queψ(n)est une fonction bornée au voisinage de0. 5. En dérivant la relation de la question 2, en déduire que
x→0limψ(n)(x) = f(n+1)(0) n+ 1 .
