DM2 - correction
1/1 Terminale S. – Lycée Desfontaines – Melle
Correction du Devoir Maison n°2
Exercice 1
L’objectif est de conjecturer la limite d’une suite puis de démontrer cette conjecture.
Soit
( )
un nÃ1 la suite définie par u1=1
2 et par la relation de récurrence un+1=1 6
un+1 3 Partie 1 : Conjecture :
On donne ci-contre une feuille de calcul sur laquelle on souhaite représenter dans la colonne B, les différentes valeurs approchées des premiers termes de la suite
( )
un .1. A l’aide d’un tableur, reproduire et compléter la feuille de calcul ci-contre, sachant qu’on souhaite faire apparaître les valeurs de 20 premiers termes de la suite(voir correction_DM2.ods) 2. Quelle formule doit-on entrer en B4 ? Recopier pour obtenir toutes les valeurs de
( )
unsouhaitées. On affichera les valeurs des termes avec 15 décimales. (voir correction_DM2.ods) 3. La suite
( )
un semble t-elle converger ? oui4. Si oui, quelle semble être sa limite l. ló0.4
Partie 2 : Démonstration
Soit
( )
vn nÃ1 la suite définie pour tout entier nÃ1, vn=un−l où l est le réel définit dans la partie 1.1. Montrons que la suite
( )
vn est une suite géométrique dont on précisera la raison :┐nÃ1, vn+1=un+1−0.4=1 6un+1
3−0.4=1
6
(
vn+0.4)
+13−0.4=1 6vn+1
6×2 5+1
3−2 5 =1
6vn+ 1 15− 1
15 =1 6vn. Donc
( )
vn est une suite géométrique de raison 16 et de premier terme v
1=u
1−0.4=1
2−2 5= 1
10 2. Déduisons-en l’expression de v
n puis de u
n en fonction de n :
( )
vn est une suite géométrique de raison 16 et de premier terme v
1= 1
10 donc ┐nÃ1, vn=v1
1 6
n−1
= 1 10×
1 6
n−1
.
Ainsi ┐nÃ1, un=vn+0.4= 1 10×
1 6
n−1
+0.4
3. Justifions que la suite
( )
un converge et déterminer sa limite : -1<16<1 donc lim
n↔+õ
1 6
n−1= lim
N↔+õ
1 6
N=0 donc lim
n↔+õun=0,4.
Donc
( )
un converge et sa limite est 0,4.A B C
1
2 Rang u(n)
3 1 0,5
4 2
5 3
6 4
7 5
8 6
9 7
10 8
