() () () () () () DEVOIR A LA MAISON N°2. TS.

DEVOIR A LA MAISON N°2. TS.

Pour le mercredi 17 septembre 2014 I. Dans chacun des cas, donner deux suites ( ) ^u

ⁿ

^et ( ) ^v

ⁿ

telles que.

1. lim

n

u

n

lim

n

v

n

et lim

n

(u

n

v

n

) . 2. lim

n

u

n

lim

n

v

n

et lim

n

(u

n

v

n

) . 3. lim

n

u

n

lim

n

v

n

et lim

n

(u

n

v

n

) 1.

II. ( ) ^u

ⁿ

est la suite définie par u

0

1 et, pour tout n de , u

n 1

4u

n

3 n 2 et ( ) ^v

ⁿ

est la suite définie par v

₀

4 et, pour tout n de , v

_{n 1}

1 v

_n²

.

Pour chacune des deux suites :

1. Calculer les premiers termes de la suite et conjecturer une expression de u

_n

en fonction de n.

2. Démontrer par récurrence votre conjecture.

III. Déterminer dans chaque cas la limite éventuelle de la suite ( ) ^u

n

. Justifier.

1. u

n

3n ² 5 n 2 n

³

3n 2. u

n

n n n n 2 3. u

_n

5 cos(n )

n 4. u

n

n 1 n 1 5. u

n

n n² 6. u

_n

n ² ( 1)

ⁿ

IV. Soit ( ) ^u

ⁿ

la suite définie par u

0

= 3 et, pour tout n de , u

n 1

2u

n

1.

Ecrire un algorithme qui :

 demande un entier n

 calcule u

n

 affiche OUI si u

n

< 50 et NON si u

n

50

CORRECTION DUDEVOIR A LA MAISON N°2. TS

I.

Dans chacun des cas, déterminer deux suites ( ) ^u

ⁿ

^et ( ) ^v

ⁿ

telles que.

1. On peut choisir u

n

= n² et v

n

n.

2. On peut choisir u

n

= n et v

n

n².

3. On peut choisir u

n

= n 1 et v

n

n.

II.

Pour la suite ( ) ^u

ⁿ

^:

1. u

0

1 ; u

1

2 ; u

2

3 ; u

3

4. Il semble que u

n

n 1.

2. Initialisation : pour n 0, u

0

= 1 et 0 + 1 = 1 donc la propriété est vraie.

Hérédité : soit p un entier supérieur ou égal à 0 tel que u

_p

p 1. Montrons que u

_{p 1}

p 2.

u

p 1

4 u

p

3p 2 4(p 1) 3p 2 d après l hypothèse de récurrence 4 p 4 3 p 2 p 2

La propriété est donc héréditaire.

Conclusion : pour tout n de , u

n

n 1.

Pour la suite ( ) ^v

ⁿ

^:

1. v

0

4 ; v

1

17 ; v

2

18 ; v

3

19 . Il semble que v

n

n 16

2. Initialisation : pour n 0, v

0

4 et 0 16 4 donc la propriété est vraie.

Hérédité : soit p un entier supérieur ou égal à 0 tel que u

p

p 16 . Montrons que v

p 1

p 17 .

v

p 1

1 v

p

2

= 1 ( p 16 )

²

d après l hypothèse de récurrence

1 p 16 p 17

La propriété est donc héréditaire.

Conclusion : pour tout n de , v

n

n 16 .

III. Toutes les expressions sont des FI (par quotient, somme ou car cos(n) et ( 1)

ⁿ

n ont pas de limite).

1. u

n

3n ² 5 n 2 n

³

3n =

n ²

 

 

3 ⁵

n 2 n ² n

³

 

 

1 ³

n²

=

3 ⁵

n 2 n ² n  

 

1 ³

n ² lim

n

5

n lim

n

2

n² 0 donc lim

n

3 ⁵

n 2 n ² 3 lim

n

1 ³

n² 1 donc lim

n

n  

 

1 ³

n² Alors, par quotient, lim

n

u

n

0

2. u

n

n n n n 2 =

n n  

 

1 ¹

n n  

 

1 ²

n

= n  

 

1 n

1 ²

n lim

n

n + donc lim

n

1 + 1

n 1 + 0 = 1 et lim

n

n  

 

1 ¹

n = + par produit.

lim n

1 2

n 1

Alors, par quotient, lim

n

u

n

+

3. u

n

5 cos(n ) n

Pour tout n de , 1 cos(n) 1 donc 4

n u

_n

6 n Or, lim

n

4

n lim

n

6

n 0 donc, d après le th des gendarmes, lim

n

u

n

0.

4. u

n

n 1

n 1 = n 1

( n 1 )

²

= 1 n 1 lim

n

n 1 donc lim

n

u

n

0

5. u

n

n n² = ( n n ² ) ( n n² )

n n ² = n n

⁴

n n² =

n 4

 



 

 1 n 3 1 n ²  

  n n² 1

= n²  

  1 n

³

1 1 n n 1 lim

n

1

n

³

0 donc lim

n

1

n

³

1 = 1 et lim

n

n² donc lim

n

  

 

 1

n 3 1 n² = par produit.

lim

n

n n + (par produit) donc lim

n

 

  1

n n 1 1 Alors, par quotient, lim

n

u

n

6. u

n

n ² ( 1)

ⁿ

n² 1 pour tout n de et lim

n

n² 1 donc, par comparaison, lim

n

u

n

V.

Algorithme 1 Demander n u prend la valeur 0 Pour i allant de 1 à n.

u prend la valeur 2u 1.

Fin pour Si u < 50

Afficher "OUI"

Sinon

Afficher "NON"