Devoir maison n°2 : critère de divisibilité par récurrence.

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Devoir maison n°2 : critère de divisibilité par récurrence.

Un rappel de logique : Soit (P) une proposition vraie, du type : « Si A, alors B ».

La réciproque de (P) est alors : « Si B, alors A ». Mais elle n'est pas toujours vraie, même si (P) est vraie :

« S'il pleut, il y a des nuages » est une proposition vraie. « S'il y a des nuages, il pleut » est une affirmation fausse.

« Si une suite est croissante et majorée, elle est convergente » est une proposition vraie. « Si une suite est convergente, elle est croissante et majorée » est une affirmation fausse.

Soit (P) une proposition vraie, du type : « Si A, alors B ».

La contraposée de (P) est alors : « Si nonB, alors nonA ». Si (P) est vraie, sa contraposée est toujours vraie.

« S'il pleut, il y a des nuages » est une proposition vraie. « S'il n'y a pas de nuage, il ne pleut pas » est une affirmation vraie aussi.

« Si une suite est croissante et majorée, elle est convergente » est une proposition vraie. « Si une suite n'est pas convergente, elle n'est pas croissante et majorée » est une affirmation vraie aussi (elle est soit croissante, soit non majorée, soit les deux).

Le devoir proprement dit 1. La théorie.

Soit N un nombre entier positif, de chiffre des unités U et de nombre de dizaines D (exemple, si N=1234, U=4 et D=123). Soit q un nombre entier quelconque.

a. Démontrer que « N  0 [q] » est équivalent à « 10×D + U est un multiple de q ».

b. Supposons qu'il existe un entier p tel que 10×p – 1  0 [q] et que, pour un N=10D+U donné, D + p×U  0 [q]. Montrer qu'alors, N est un multiple de q.

c. A-t-on démontré que si D + p×U n'est pas divisible par q, alors N n'est pas divisible par q ? Pourquoi ?

d. Supposons qu'il existe un entier p tel que 10×p – 1  0 [q] et que, pour N=10D+U donné, N est un multiple de q. Montrer qu'alors D + p×U  0 [q].

e. En déduire que, s'il existe un entier p tel que 10×p – 1  0 [q] , alors, pour N=10D+U donné, « D + p×U  0 [q] » est équivalent à « N est un multiple de q ».

f. Supposons qu'il existe un entier p tel que, pour un N=10D+U donné, D + pU ≡ 0 [q], et que N  0 [q]. A-t-on 10×p – 1  0 [q] ? Justifier.

2. La pratique.

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Dans cette question, on choisit q=/t{7;11;13;17} .

a. En utilisant 1b, déterminer une valeur négative possible pour p.

b. En déduire alors la méthode pour savoir si N est divisible par #1 . c. Soit la suite ( u

_n

) définie par :

u

₀

= N

• Si u

n

>100, u

_n₊₁

= nombre de dizaines de u

_n

–

/si{#1=7;2;/si{#1=11;1;/si{#1=13;9;/si{#1=17;5;Erreur}}}}×chiffre des unités de u

_n

,

• Sinon u

n+1

=u

n

.

Soit D

n

le nombre de dizaines de u

n

et U

n

Devoir maison n°2 : critère de divisibilité par récurrence.

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Devoir maison n°2 : critère de divisibilité par récurrence.

Un rappel de logique : Soit (P) une proposition vraie, du type : « Si A, alors B ».

La réciproque de (P) est alors : « Si B, alors A ». Mais elle n'est pas toujours vraie, même si (P) est vraie :

« S'il pleut, il y a des nuages » est une proposition vraie. « S'il y a des nuages, il pleut » est une affirmation fausse.

« Si une suite est croissante et majorée, elle est convergente » est une proposition vraie. « Si une suite est convergente, elle est croissante et majorée » est une affirmation fausse.

Soit (P) une proposition vraie, du type : « Si A, alors B ».

La contraposée de (P) est alors : « Si nonB, alors nonA ». Si (P) est vraie, sa contraposée est toujours vraie.

« S'il pleut, il y a des nuages » est une proposition vraie. « S'il n'y a pas de nuage, il ne pleut pas » est une affirmation vraie aussi.

« Si une suite est croissante et majorée, elle est convergente » est une proposition vraie. « Si une suite n'est pas convergente, elle n'est pas croissante et majorée » est une affirmation vraie aussi (elle est soit croissante, soit non majorée, soit les deux).

Le devoir proprement dit 1. La théorie.

Soit N un nombre entier positif, de chiffre des unités U et de nombre de dizaines D (exemple, si N=1234, U=4 et D=123). Soit q un nombre entier quelconque.

a. Démontrer que « N  0 [q] » est équivalent à « 10×D + U est un multiple de q ».

b. Supposons qu'il existe un entier p tel que 10×p – 1  0 [q] et que, pour un N=10D+U donné, D + p×U  0 [q]. Montrer qu'alors, N est un multiple de q.

c. A-t-on démontré que si D + p×U n'est pas divisible par q, alors N n'est pas divisible par q ? Pourquoi ?

d. Supposons qu'il existe un entier p tel que 10×p – 1  0 [q] et que, pour N=10D+U donné, N est un multiple de q. Montrer qu'alors D + p×U  0 [q].

e. En déduire que, s'il existe un entier p tel que 10×p – 1  0 [q] , alors, pour N=10D+U donné, « D + p×U  0 [q] » est équivalent à « N est un multiple de q ».

f. Supposons qu'il existe un entier p tel que, pour un N=10D+U donné, D + pU ≡ 0 [q], et que N  0 [q]. A-t-on 10×p – 1  0 [q] ? Justifier.

2. La pratique.

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Dans cette question, on choisit q=/t{7;11;13;17} .

a. En utilisant 1b, déterminer une valeur négative possible pour p.

b. En déduire alors la méthode pour savoir si N est divisible par #1 . c. Soit la suite ( u

) définie par :

u

= N

• Si u

>100, u

= nombre de dizaines de u

–

/si{#1=7;2;/si{#1=11;1;/si{#1=13;9;/si{#1=17;5;Erreur}}}}×chiffre des unités de u

,

• Sinon u

=u

.

Soit D

le nombre de dizaines de u

et U

son chiffre des unités. Appliquer la méthode suggérée pour savoir si

/si{#1=7;16583;/si{#1=11;47751;/si{#1=13;61282;/si{#1=17;42279;Erreur}}}} est divisible par q.

d. [question subsidiaire] Étudier cette suite (croissance, décroissance…).

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