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Devoir maison n°2 : critère de divisibilité par récurrence.

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Academic year: 2022

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Devoir maison n°2 : critère de divisibilité par récurrence.

1.Soit N un nombre entier positif, de chiffre des unités U et de nombre de dizaines D. Soit q un nombre entier quelconque.

a. Démontrer que N  0 [q] est équivalent à 10×D + U est un multiple de q.

b. Supposons qu'il existe un entier p tel que 10×p – 1  0 [q] et que, pour N=10D+U donné, D + p×U  0 [q]. Montrer qu'alors, N est un multiple de q.

2. Dans cette question, on choisit q=/t{7;11;13;17} .

a. En utilisant 1b, déterminer une valeur négative possible pour p.

b. En déduire alors la méthode pour savoir si N est divisible par /si{q=7|

7;q=11|11;q=13|13;q=17|17}.

c. Soit la suite ( u

n

) définie par : u

0

= N

Si u

n

>100, u

n+1

= nombre de dizaines de u

n

– /si{q=7|2;q=11|1;q=13|9;q=17|5}×chiffre des unités de u

n

,

Sinon u

n+1

=u

n

.

Soit D

n

le nombre de dizaines de u

n

et U

n

son chiffre des unités.

i. Montrer que D

n+1

∈ [ D

n

10 -10 ; D

n

10 +10 ].

ii. En déduire que, tant que D

n

>100, la suite (D

n

) décroit.

iii. Que peut-on en déduire concernant la suite (u

n

) ?

d. Appliquer la méthode suggérée pour savoir si /si{q=7|16583;q=11|47751;q=13|

61282;q=17|42279} est divisible par q.

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