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Spé math – DM2 : correction
1. On désigne par e l'ensemble {0;1;2;3;4;5;6;7;8;9}.
a. N ≡ 0 [q] et , si D est le nombre de dizaines de N et U son chiffre des unités : On peut écrire N sous la forme N = anan−1an−2...a2a1 où les ai désignent chaque chiffre de N. Alors N = anan−1an−2...a2×10+ ¯a1 .Donc N = D×10+U.
Donc, dire que N≡ 0[q] est équivalent à dire que 10D + U ≡ 0[q].
b. Démontrons que :
«Supposons qu'il existe p tel que 10p – 1 ≡ 0 [q]. Si D + pU ≡ 0 [q], alors 10D + U ≡ 0 [q]»
Si 10p – 1 ≡ 0 [q], alors 10p ≡ 1 [q]
Donc : 10D + U ≡ 10pD + pU ≡ D + pU ≡ 0 [q].
En résumé : si on trouve un p tel que 10p – 1 ≡ 0 [q], on a un critère de divisibilité pour de dire que si D + pU est divisible par q, alors N est divisible par q :
Il suffit d'additionner le nombre de dizaines au produit du chiffre des unités par p, ce qui donne un nombre N'. Si ce nombre N' est divisible par q ('D + pU ≡ 0 [q]'), alors N est divisible par q.
Remarque :
Attention, cela ne permet pas d'affirmer que si D + pU n'est pas divisible par q, alors N n'est pas divisible par q. Pour cela, il faut montrer que, s'il existe p tel que 10p – 1 ≡ 0 [q], et 10D + U ≡ 0 [q], alors D + pU ≡ 0 [q] (voir question d).
c. Non (cf remarque précédente) :
Un rappel de logique : Soit (P) une proposition vraie, du type : « Si A, alors B ».
La réciproque de (P) est alors : « Si B, alors A ». Mais elle n'est pas toujours vraie, même si (P) est vraie :
« S'il pleut, il y a des nuages » est une proposition vraie. « S'il y a des nuages, il pleut » est une affirmation fausse.
« Si une suite est croissante et majorée, elle est convergente » est une proposition vraie. « Si une suite est convergente, elle est croissante et majorée » est une affirmation fausse.
Soit (P) une proposition vraie, du type : « Si A, alors B ».
La contraposée de (P) est alors : « Si nonB, alors nonA ». Si (P) est vraie, sa contraposée est toujours vraie.
« S'il pleut, il y a des nuages » est une proposition vraie. « S'il n'y a pas de nuage, il ne pleut pas » est une affirmation vraie aussi.
« Si une suite est croissante et majorée, elle est convergente » est une proposition vraie. « Si une suite n'est pas convergente, elle n'est pas croissante et majorée » est une affirmation vraie aussi (elle est soit croissante, soit non majorée, soit les deux).
Dans le contexte du devoir :
Démontrer que si D + pU n'est pas divisible par q, alors N n'est pas divisible par q revient à démontrer que si N≡ 0 [q], alors D + pU ≡ 0 (c'est sa contraposée).
Or, on a démontrer uniquement sa réciproque ! d. Démontrons que :
«Supposons qu'il existe p tel que 10p – 1 ≡ 0 [q]. Si 10D + U ≡ 0 [q], alors D + pU ≡ 0 [q]»
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Si 10p – 1 ≡ 0 [q], alors 10p ≡ 1 [q].
10D + U ≡ 0 [q], donc 10D ≡ - U [q] et U ≡ - 10D [q].
Donc D + pU ≡ D – 10pD [q] ≡ (1 – 10p)D [q] ≡ (1 – 1)D [q] ≡ 0 [q].
Ce qu'il fallait démontrer.
e. Les démonstrations en b et d donnent l'équivalence : Supposons qu'il existe p tel que 10p – 1 ≡ 0 [q].
Au b, on a démontré Si D + pU ≡ 0 [q], alors N ≡ 0 [q].
Au d, on a démontré Si N ≡ 0 [q], alors D + pU ≡ 0 [q].
Donc, globalement, on a bien démontré l'équivalence.
f. A-t-on la réciproque : si D + pU ≡ 0 [q] et N 0 [q], alors 10p – 1 ≡ 0 [q] ? On a (N étant un multiple de q ) : 10D + U ≡ 0 [q] (E1)
Et : il existe p tel que D + Up ≡ 0 [q] (E2) Multiplions (E1) par p : 10Dp + Up ≡ 0 [q]
Retranchons (E2) au résultat : 10Dp +Up – (D + Up) ≡ 0[q]
Soit : 10Dp – D ≡ 0 [q]
Soit : D(10p – 1) ≡ 0 [q].
Autrement dit : il existe k entier tel que D(10p – 1)=kq.
Donc, en ce cas, soit D est divisible par q, soit 10p – 1 est divisible par q.
* Si 10p – 1 est divisible par q, alors 10p – 1 ≡ 0 [q]. Dans ce cas, la réciproque est donc vraie.
* Si D est divisible par q, alors 10D l'est aussi, et donc 10D + U ≡ U [q].
D'où, puisque N = 10D + U 0 [q] ( N est un multiple de q ), U ≡ 0[q]. Donc U est divisible par q.
Mais alors, on n'a pas obligatoirement 10p – 1 ≡ 0 [q].
Exemple : N = 217, q = 7 , et p = 4 : N est divisible par 7 : 217
7 = 31.
D + pU = 21 + 4×7 = 49 est un multiple de 7,
et pourtant, 10×4 – 1 = 39 n'est pas un multiple de 7.
Donc, dans le cas où D est divisible par q, la propriété est fausse : On peut avoir D + pU non divisible par q et, pourtant N est divisible par q.
(remarque : la divisibilité de N est alors évidente (exemple : 217=10×21+7 est divisible par 7)).
2) a) Si q=7 : 10×(-2)-1= -21≡0[7] Donc p= -2 convient.
Si q=11 : 10×(-1)-1= -11≡0[11] Donc p= -1 convient.
Si q=13 : 10×(-9)-1= -91≡0[13] Donc p= -9 convient.
Si q=17 : 10×(-5)-1= -51≡0[17] Donc p= -5 convient.
b) D'après le 1.b. :
Si q=7 : 10(-2) – 1 = 21 ≡ 0 [7].Donc on peut choisir p=-2. Si N = 10D + U est divisible par 7, alors N ≡ 0 [7]. Donc, d'après le 1b, cela signifie que D – 2U ≡ 0 [7] : on calcule le nombre de dizaines -2 fois le chiffre des unités.
Si q=11 : Même démonstration, avec -1 au lieu de -2. On calcule le nombre de dizaines -1 fois le chiffre des unités.
Si q=13 : Même démonstration, avec -9 au lieu de -2. On calcule le nombre de dizaines -9
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fois le chiffre des unités.
Si q=17 : Même démonstration, avec -5 au lieu de -2. on calcule le nombre de dizaines -5 fois le chiffre des unités.
c) Si q=7 : 16583 → 1658-2×3=1652 → 165-2×2=161 → 16 – 2×1=14=7×2 : 16583 est divisible par 7 (16583/7=2369)
Si q=11 : 47751 → 4775-1×1=4774 → 477-1×4=473 → 47 – 1×3=44=11×4 : 47751 est divisible par 11 (47751/11=4341)
Si q=13 : 61282 → 6128-9×2=6110 → 611-9×0=611 → 61 – 9×1=52=13×4 : 61282 est divisible par 13 (61282/13=4714)
Si q=17 : 42279 → 4227-5×9=4182 → 418-5×2=408 → 40 – 5×8=0=13×0 : 42279 est divisible par 17 (42279/17=2487)
d) Soit Dn le nombre de dizaines de un et Un le chiffre des unités de un. Un contre exemple montre que la suite n'est pas décroissante ! Si q=7, prenons N=25 : u1= 2-2×5 = -8, u2=0-2×(-8)=16>u1.
Si q=11, prenons N=25 : u1= 2-1×5 = -3, u2=0-1×(-3)=3>u1. Si q=13, prenons N=25 : u1= 2-9×5 = -43, u2=-4-9×(3)=-31>u1. Si q=17, prenons N=25 : u1= 2-5×5 = -23, u2=-2-5×(3)=-17>u1.
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