Un corrigé du devoir maison n°1

Un corrigé du devoir maison n°1

On se place dans un plan.

SoitDune droite etFun point quelconque du plan n’ap- partenant pas àD.

Pour tout pointMde la droiteD, on construit le pointI vérifiant les deux conditions suivantes :

• M I=IF

• (M I) est perpendiculaire àD

On se pose pour objectif, dans ce devoir, de déterminer quel est l’ensemble des positions prises parI, on dit aussi lelieu géométriquedeI, lorsque le pointMdécrit la droite D.

b

b b

D M

I

F

Conjecturer avec Geogebra

1. Quel est dans le plan l’ensemble des points équi- distants de deux points ? Proposer alors une mé- thode de construction du pointI à partir du point F, de la droiteDet d’un pointMde la droiteD.

L’ensemble des points équidistants de deux points est la médiatrice du segment formé par ces deux points.

I est à la fois sur la perpendiculaire àD passant parMet sur la médiatrice du segment [F M] puis- qu’il est à égale distance de ces deux points. Pour le construire, il suffit alors de construire cette per- pendiculaire et cette médiatrice :Isera leur inter- section.

2. Faire une capture d’écran de la trace obtenue et fournir cette capture d’écran avec votre copie.

3. Quel semble être le lieu géométrique du point I quandMdécrit la droiteD?

I semble décrire une parabole.

Démontrer la conjecture

On munit le plan d’un repère orthonormé admettant la droiteDcomme axe des abscisses et dont l’axe des ordon- nées passe parF.

Dans ce repère, on notexl’abscisse deM,f l’ordonnée de Fetyl’ordonnée deI.

1. Avec les conventions précédentes, donner les coor- données des pointsF,MetI.

F est sur l’axe des ordonnées et d’ordonnée f doncF(0;f).

Mest sur l’axe des asbcisses et d’abscissexdonc M(x; 0).

I est sur la perpendiculaire à l’axe des abscisses passant parMdoncIetMont la même abscisse : x. Son ordonnée estydoncI(x;y).

2. Montrer que la conditionM I=IFest alors équiva- lente àM I²=IF²puis àx²−2y f+f²=0.

M I etIF étant des longueurs, donc des nombres positifs,

M I=IF⇔M I²=IF²

⇔(xI−xM)²+(yI−yM)²

=(xF−xI)²+(yF−yI)²

⇔(x−x)²+(y−0)²=(0−x)²+(f−y)²

⇔y²=x²+f²−2y f+y²

⇔x²−2y f+f²=0

3. Exprimer alorsyen fonction dex(etf).

Comme le pointFn’est pas sûr la droiteD, qui est l’axe des abscisses, alorsf 6=0.

x²−2y f+f²=0⇔x²+f²=2y f⇔y=_2f¹ x²+₂^f (il y a équivalence carf 6=0).

4. yest une fonction dexde quel type ? De quelle na- ture est alors ce lieu de point ?

y est un polynôme du second degré de x donc, lorsqueMdécrit la droiteD,xdécritRetIdécrit la courbe de ce polynôme qui est bien une para- bole.