Lycée La Martinière Monplaisir Année 2021/2022
MPSI - Mathématiques le 2 septembre
Devoir à la maison n° 1
À rendre le 9 septembre
Pour un réel a, on considère la fonction fa, définie sur Rpar fa :x7→(a−x)e−x2.
On note Ca la courbe représentative de fa.
1) Justifier que, pour touta∈R, fa est dérivable, et exprimer fa0. 2) Soit a∈R, dresser le tableau des variations defa.
3) Soita ∈R. Montrer qu’il existe deux uniques réelsx−(a) etx+(a) en lesquelsfaatteint respectivement un minimum et un maximum, dont on note les valeursy−(a) ety+(a).
4) Justifier que pour touta ∈R:
x+(a)< a < x−(a).
En déduire la limite dex+ lorsque a tend vers −∞, ainsi que la limite de x− lorsque a tend vers +∞.
5) Poura∈R, tracer dans un repère l’allure deCa, en faisant apparaître tous les éléments étudiés précédemment. On fera notamment apparaître toutes les tangentes horizon- tales.
6) Soit a, b ∈ R vérifiant a < b. Comparer fa et fb, en déduire les positions relatives de Ca etCb.
7) Déterminer l’expression de x+(a) et de x−(a) en fonction de a ∈ R et dresser les tableaux des variations de x+ et de x−.
8) Simplifier les expressions dex+(a) +x−(a) et dex+(a)x−(a), en fonction de a.
9) On noteC−l’ensemble des points du plan de la forme (x−(a), y−(a)), et C+ l’ensemble des points du plans de la forme (x+(a), y+(a)) :
C− ={(x−(a), y−(a))|a∈R} et C+={(x+(a), y+(a))|a∈R}.
Montrer que C− et C+ sont les deux branches de la courbe C d’une fonction g, que l’on déterminera.
10) Dresser le tableau des variations deg.
11) Sans étude de fonction supplémentaire, déterminer pour un réel a la position relative des courbes C etCa.
12) Pour deux réelsa, bvérifianta < b, tracer dans un même repère les allures des courbes Ca, Cb et C, en faisant apparaître tous les éléments étudiés précédemment. On fera notamment apparaître toutes les tangentes horizontales.
— FIN —
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