Devoir maison n ◦ 01 – à rendre vendredi 11 septembre

Lycée Fénelon Sainte-Marie Classe de MP

Année 2020-2021 Mathématiques

Devoir maison n ^◦ 01 – à rendre vendredi 11 septembre

Durée : 2 heures (estimation) Toute calculatrice interdite

– Problème –

Dans tout le problème,(a, b)est un couple donné, élément deR²\ {(0,0)}. On désigne par :

P le plan euclidien usuel orienté rapporté au repère orthonormé direct(O;~i,~j),P^∗ l’ensembleP privé de l’origineO, C^∗l’ensemble des nombres complexes privé de zéro (on pourra utiliser les notationsρetθpour désigner respectivement le module et un argument réel d’un élément deC^∗)et Ale point deP^∗ d’affixe1.

À tout couple de pointsM,M⁰ deP^∗, d’affixes respectiveszet z⁰, on associe le point d’affixezz⁰, noté : M∆M⁰. On définit ainsi une loi de composition interne dansP^∗.

Partie A

SoitQetQ⁰ les points deP^∗d’affixes respectives : q= cosπ

3

+isinπ 3

et q⁰ = 2

cos 5π

6

+isin 5π

6

. 1. Représenter les pointsQ,Q⁰ et Q∆Q⁰.

2. Démontrer que(P^∗,∆)est un groupe commutatif isomorphe à(C^∗,×). Quel est son élément neutre ?

3. On appellefa,b l’application deRdansP^∗ qui, à tout réeltassocie le point M d’affixee^at(cos(bt) +isin(bt)).

(a) Démontrer quefa,b est un morphisme de (R,+)dans(P^∗,∆).

(b) Le pointQ⁰ a-t-il des antécédents parfa,b?

(c) Lorsqueaest non nul, le pointQa-t-il des antécédents parfa,b? En déduire que fa,b n’est pas surjective.

(d) Pour quelles valeurs deal’applicationfa,b est-elle injective ? 4. On appelleCa,b l’ensemble image deRparfa,b.

(a) Reconnaître les ensemblesC_0,b etC_a,0.

(b) Démontrer que(Ca,b,∆) est un sous-groupe de(P^∗,∆).

Partie B

Dans cette partie seulement,aest un réel strictement positif,b un réel quelconque. Soit ((uq)q∈N)la suite arith- métique de premier termeu0= 0, de raisonr, réel strictement négatif. Pour tout entier naturelq, on désigne parMq

le pointf_a,b(u_q), dont l’affixe est notéez_q.

1. On donne, dans cette question seulement,a= 1, b= 1, r =−π

4. Représenter les pointsM₀, M₁, M₂, M₃, M₄ et construire les segments [M_q, M_q+1], (q∈ {0,1,2,3}.) On prendra10cm pour unité de longueur.

Écrire un programmepythonpermettant de représenter graphiquement les pointsM_q pourq∈ {0, . . . , n},n= 4.

On écrira des procédures permettant de faire varier n.

Une fois le DM fini, tester le programme ! Si possible, coller sur votre copie une capture d’écran de l’affichage.

2. Vérifier quezq =z₁^q et que|zq+1−zq|=e^aqr(|z1−1|).

En déduire que la suite(v_n)_n∈Nde terme généralv_n=

n−1

X

q=0

||−−−−−−→

M_qM_q+1||converge vers

L(r) = s

1 + 2(1−cos(br)) (1−e^ar)² e^ar. Quelle est la limite deL(r)lorsquertend vers0?

Bon courage !

Lycée Fénelon Sainte-Marie Classe de MP

Année 2020-2021 Mathématiques

Devoir maison n ^◦ 01 – éléments de correction

– Problème –

Dans tout le problème,(a, b)est un couple donné, élément deR²\ {(0,0)}. On désigne par :

P le plan euclidien usuel orienté rapporté au repère orthonormé direct(O;~i,~j),P^∗ l’ensembleP privé de l’origineO, C^∗l’ensemble des nombres complexes privé de zéro (on pourra utiliser les notationsρetθpour désigner respectivement le module et un argument réel d’un élément deC^∗)et Ale point deP^∗ d’affixe1.

À tout couple de pointsM,M⁰ deP^∗, d’affixes respectiveszet z⁰, on associe le point d’affixezz⁰, noté : M∆M⁰. On définit ainsi une loi de composition interne dansP^∗.

Partie A

SoitQetQ⁰ les points deP^∗d’affixes respectives : q= cosπ

3

+isinπ 3

et q⁰ = 2

cos 5π

6

+isin 5π

6

.

1. Qest le point d’affixee^iπ3 Q⁰ est le point d’affixe2e^i5π6. On a donc Q∆Q⁰ d’affixe2e^i7π6 ou2e^−i5π6 .

2. Considérons l’applicationϕ:C^∗ → P^∗, qui à un nombre complexe non nulzassocie le pointM du plan d’affixe z. Cette application est clairement bijective et de plus, pour tous nombres complexes non nulsz etz⁰, en notant M etM⁰ les points respectivement associés àz etz⁰, on a

ϕ(zz⁰) =M∆M⁰=ϕ(z)∆ϕ(z⁰).

Autrement dit,ϕest un morphisme bijectif de(C^∗,×)dans(P^∗,∆).

Or, (C^∗,×) est un groupe commutatif ; le théorème de transport de structure, qui était au programme de Sup jusqu’en 2014, permettait alors d’affirmer que (P^∗,∆) est un groupe commutatif, isomorphe à(C^∗,×). En particulier, l’élément neutre de(P^∗,∆)est ϕ(1) =A, point du plan d’affixe1.

Désormais, il faut tout faire à la main ! En utilisant justement l’application ϕ, dont la bijectivité et le fait qu’elle respecte les lois deC^∗ et deP^∗ permettent de « transporter » la structure de groupe depuisC^∗versP^∗. Chers MP, à vous de jouer !

3. On appellef_a,b l’application deRdansP^∗ qui, à tout réeltassocie le point M d’affixee^at(cos(bt) +isin(bt)).

(a) Pour tout réelt, on peut écrire

e^at(cos(bt) +isin(bt)) =e^ate^ibt=e^(a+ib)t

et il en résulte, pour tous réelst ett⁰, quefa,b(t+t⁰)est le point deP^∗ d’affixe e^(a+ib)(t+t0)=e(a+ib)t+(a+ib)t⁰ =e^(a+ib)te^(a+ib)t0.

On reconnaît le produit de l’affixe de fa,b(t)et de celle de fa,b(t⁰). On a donc bien

∀(t, t⁰)∈R², f_a,b(t+t⁰) =f_a,b(t)∆f_a,b(t⁰).

Ainsi fa,b est un morphisme de (R,+)dans(P^∗,∆) .

(b) Le pointQ⁰ a des antécédents parfa,b si et seulement si son affixeq⁰ = 2

cos 5π

6

+isin 5π

6

se met sous la formee^ate^ibt avectréel. En identifiant module et argument, on doit donc avoir







e^at = 2 bt = 5π

6 (2π) On en déduit :

B Si a= 0oub= 0, alors il n’y a pas de solution à ce système, doncQ⁰ n’a pas d’antécédent parfa,b. En particulier, Q⁰ n’a pas d’antécédent parf_0,b.

B Si a6= 0 et b 6= 0, alors la première équation donnet = ln 2

a et la seconde donnet = 5π 6b +k2π

b , avec k ∈ Z. Q⁰ admet alors des antécédents par fa,b si et seulement s’il existe un entier relatif k tel que

ln 2 a =5π

6b +k2π

b = (5 + 12k)π

6b , ou encore si et seulement s’il existek∈Ztel que b= (5 + 12k)π 6 ln 2 a.

(c) Supposonsanon nul.

Le point Qa des antécédents parf_a,b si et seulement si son affixeq= cosπ 3

+isinπ 3

se met sous la forme e^ate^ibt avect réel. Son module sera dans ce cas e^at, or |q| = 1 donct doit vérifiere^at = 1, ce qui donnet= 0puisque a6= 0, auquel case^ibt= 1et doncfa,b(t) =A6=Q⁰. En conclusion :

Si a6= 0, alorsQ⁰ n’a aucun antécédent parf_a,b et f_a,b n’est donc pas surjective.

(d) Le morphismefa,b est injectif si et seulement son noyau est réduit à{A}, il faut donc résoudree^(a+ib)t= 1.

Ceci entraine :at= 0etbt= 2kπaveckélément deZ.

B Sia= 0alorsbétant non nul les antécédents deAsont lest= 2kπ

b aveck∈Zetf0,bn’est pas injective.

B Si a6= 0le seul antécédent deA est0doncfa,b est injective.

fa,b est injective si et seulement sia∈R^∗. 4. On appelleCa,b l’ensemble image deRparfa,b.

(a) C0,b=f0,b(R); c’est l’ensemble des pointsM ∈ P^∗ d’affixee^ibtavecb6= 0. Ainsi C0,best le cercle unité . C_a,0=f_a,0(R); c’est l’ensemble des pointsM ∈ P^∗d’affixee^ataveca6= 0. Ainsi C_a,0 est la demi-droite]Ox). (b) Le plus rapide est d’affirmer queCa,b=fa,b(R)est un sous-groupe de(P^∗,∆)comme image d’un morphisme

de groupes !

On pouvait également tout redémontrer à la main. Par définitionC_a,b⊂ P^∗. Le pointAest élément deC_a,b donc cet ensemble est non vide.

Soit M d’affixe e^(a+ib)t et N d’affixe e^(a+ib)t0 deux éléments de P^∗ et soit N⁰ le symétrique de N dans (P^∗,∆).

Le pointM∆N⁰ est d’affixee^{(a+ib)(t−t0)} doncM∆N⁰=fa,b(t−t⁰)doncM∆N⁰ est dansCa,b. Finalement (C ,∆)est donc un sous-groupe de (P^∗,∆) .

Partie B

Dans cette partie seulement,aest un réel strictement positif,b un réel quelconque. Soit ((uq)q∈N)la suite arith- métique de premier termeu0= 0, de raisonr, réel strictement négatif. Pour tout entier naturelq, on désigne parMq

le pointf_a,b(u_q), dont l’affixe est notéez_q.

1. On suppose, dans cette question seulement,a= 1, b= 1, r=−π 4. On a doncM0=f1,1(u0) =f1,1(0) =A.

M1=f1,1(u1) =f1,1(−^π₄). C’est le point d’affixe

√2

2 e^−π4(1−i).

M2=f1,1(u2) =f1,1(−^π₂). C’est le point d’affixeie^−π2. M3=f1,1(u3) =f1,1(−^3π₄ ). C’est le point d’affixe−

√ 2

2 e^−3π4 (1 +i).

M4=f1,1(u4) =f1,1(−π). C’est le point d’affixe−e^−π. Maintenant, un peu de python:

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt plt.clf()

def X(t,a,b):

return np.exp(a*t) * np.cos(b*t) def Y(t,a,b):

return np.exp(a*t) * np.sin(b*t) def u(r,q):

return q*r a = 1

b = 1

r = - np.pi / 4 n = 5

listeX = [X( u(r,q), a, b) for q in range(n)]

listeY = [Y( u(r,q), a, b) for q in range(n)]

plt.title(r’$M_q$ pour $q\in{0,\ldots4}$’) plt.plot(listeX,listeY,’o’)

for q in range(n):

plt.text(listeX[q]-0.05,listeY[q]+0.01, q)

2. Démontrons par récurrence sur qque pour toutq∈N,zq=z₁^q.

• Si q= 0la propriété est vérifiée.

• Supposons que pour un certain q,z₁^q=zq.

Alorsz₁^q+1=z₁^qz₁ et en appliquant l’hypothèse de récurrence il vient :z^q+1₁ =z_qz₁. On a donc l’affixe deMq∆M1=fa,b(uq+u1) =fa,b(uq+r) =fa,b(uq+1) =Mq+1. Par conséquent :z₁^q+1 =zqz1=zq+1. On a donc montré que pour toutqdeN: zq =z₁^q . Dès lors : |z_q+1−z_q|=|z^q+1₁ −z₁^q|=|z₁^q||z₁−1|puis |z_q+1−z_q|=e^aqr|z₁−1|.

On en déduit aussi : v_n=

n−1

X

q=0

|zq+1−z_q|=|z1−1|

n−1

X

q=0

(e^ar)^q =|z1−1|

1−(e^ar)ⁿ 1−e^ar

. Puis, sachant que ar <0et donce^ar ∈]0; 1[, il vient : lim

n→+∞v_n=|z1−1|

1−e^ar. Or :

|z1−1| = |e^(a+ib)r−1| = |e^arcos(br)−1 +isin(br)e^ar| = p

e^2ar−2e^arcos(br) + 1

= p

e^2ar−2e^ar+ 2e^ar−2e^arcos(br) + 1 = p

(1−e^ar)²+ 2e^ar(1−cos(br)).

On a donc :

n→+∞lim vn= s

1 + 2e^ar1−cos(br)

(1−e^ar)² =L(r).

Pour calculer la limite deL(r)lorsque rtend vers0, utilisons des limites de référence.

On sait que lim

h→0

1−cosh h²

= 1 2 et lim

h→0

e^ah−1 h

=a(nombre dérivé de h7→e^ah en0). Par conséquent

r→0limL(r) = lim

r→0

s

1 + 2b²e^ar1−cos(br) b²r²

r² (1−e^ar)² =

r

1 + 2b²×1×1 2 × 1

a². On obtient enfin :

r→0limL(r) = s

1 + b

a ²

.