Devoir maison ` a rendre le 18/01/16

PCSI5 Lyc´ee Saint Louis

Devoir maison ` a rendre le 18/01/16

DM7

La qualit´e de la r´edaction, la clart´e et la pr´ecision des raisonnements interviendront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies.

Exercice 1

On consid`ere les matrices A=

−1 2

−4 5

, D=

1 0

0 3

, P =

1 1

1 2

. 1. Montrer queP est inversible et d´eterminer P⁻¹.

2. V´erifier que A=P ·D·P⁻¹.

3. Montrer queAⁿ=P·Dⁿ·P⁻¹ pour toutn∈N.

4. On consid`ere les suites (un) et (vn) d´efinies par u0, v0 ∈R et :

∀n∈N,

u_n+1 = −u_n+ 2v_n

vn+1 = −4u_n+ 5vn

On pose pour toutn∈N,X_n= u_n

v_n

.

(a) Montrer que pour toutn∈N,Xn+1 =AXn.

(b) En d´eduire, pour tout n∈N,u_net v_n en fonction de u₀ etv₀ et de n.

(c) Etudier le comportement de ces deux suites.

5. On consid`ere deux fonctionx ety d´efinies sur R, `a valeurs r´eelles et d´erivables surR. On suppose quex ety v´erifient le syst`eme diff´erentiel suivant :

x⁰ = −x+ 2y

y⁰ = −4x+ 5y On poseX =

x

y

etX⁰ = x⁰

y⁰

, c’est `a dire : ∀t∈R, X(t) =

x(t)

y(t)

et X⁰(t) = x⁰(t)

y⁰(t)

On d´efinit deux fonctionsx1, y1 :R→RparX1 = x1

y₁

etX1=P⁻¹·X. On poseX₁⁰ = x⁰₁

y₁⁰

(a) Montrer queX₁⁰ =D·X1.

(b) En d´eduire deux ´equations diff´erentielles v´erifi´ees parx₁ ety₁.

(c) D´eterminer les fonctions x₁ et y₁, et en d´eduire les solutionsx ety du syst`eme de d´epart.

Exercice 2

Soit n≥3, on pose gn:x7→xⁿ+x²+ 2x−1.

1. On consid`ere l’´equation (E<sub>n</sub>) : g<sub>n</sub>(x) = 0 d’inconnue x ∈ R, o`u n d´esigne un entier naturel sup´erieur ou ´egal `a 3. Montrer que pour tout n≥3, (E_n) admet une unique solution dans R+, que l’on note xn.

2. Montrer que (xn)n≥3 est major´ee par 1 2. 3. D´eterminer la monotonie de la suite (x_n)n≥3.

On pourra pour ce faire ´etudier le signe deg_n(x_n+1).

4. ´Etudier la convergence de (x_n)n≥3. Si (x_n)n≥3 converge, on pr´ecisera la valeur de sa limite.

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