Math´ematiques 3 DM2 CUPGE 2`eme ann´ee - automne 2020
Devoir Maison 2 - ` a rendre le 29 novembre
La clart´e et la pr´ecision de la r´edaction auront une part importante dans le barˆeme.
Exercice 1. Suites et s´eries enti`eres.
Soit, pour n >1,Hn=
n
X
i=1
1
i. On consid`ere la s´erie X
n>1
Hnzn. 1. Montrer que la s´erie enti`ere P
n>1Hnzn a rayon de convergence 1.
2. On pose, pour x ∈]−1,1[, h(x) =
+∞
X
n=1
Hnxn. Montrer que pour tout x ∈]−1,1[, on a h(x)−xh(x) = −ln(1−x).
3. On consid`ere maintenant une suite quelconque (un)n∈N de r´eels strictement positifs, on posevn =Pn
i=0ui. Soit Ru le rayon de convergence de la s´erie enti`ere P
unzn, et Rv le rayon de convergence de la s´erie P
vnzn. Montrer que Rv >min(1, Ru).
4. On suppose de plus que lim
n→+∞un= 0. Montrer qu’alors Ru >1 et Rv = 1.
5. Pour toutx∈]−1,1[ on posef(x) = P+∞
n=0unxn. Montrer qu’alors pour toutx∈]−1,1[,
on a +∞
X
n=0
vnxn= f(x) 1−x. Exercice 2. Une suite r´ecurrente.
On consid`ere la suite (an)n∈N d´efinie par r´ecurrence par : a0 = 1 et pour tout n >1, an+1= 2an+ 2n.
1. Montrer que la suite (an) est croissante et que pour tout n∈N, an64n. 2. On note R le rayon de convergence de la s´erie P
anzn. Montrer que R> 14. 3. On note, pour x∈]−R, R[,f(x) = P+∞
n=0anxn. Montrer que pour toutx∈]−14,14[, on a
+∞
X
n=0
an+1xn= 2f(x) +
+∞
X
n=0
(2x)n.
4. En d´eduire que pour tout x∈]− 14,14[, on a f(x)−1 =x
2f(x) + 1 1−2x
.
5. En d´eduire une expression pour f(x) sous forme de fraction rationnelle.
6. D´evelopper en s´erie enti`ere l’expression trouv´ee `a la question pr´ec´edente pour montrer que pour tout n∈N, an= (n+ 2)2n−1.
Universit´e de Paris 1 UFR de math´ematiques