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Devoir Maison 2 - ` a rendre le 29 novembre

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Academic year: 2022

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Math´ematiques 3 DM2 CUPGE 2`eme ann´ee - automne 2020

Devoir Maison 2 - ` a rendre le 29 novembre

La clart´e et la pr´ecision de la r´edaction auront une part importante dans le barˆeme.

Exercice 1. Suites et s´eries enti`eres.

Soit, pour n >1,Hn=

n

X

i=1

1

i. On consid`ere la s´erie X

n>1

Hnzn. 1. Montrer que la s´erie enti`ere P

n>1Hnzn a rayon de convergence 1.

2. On pose, pour x ∈]−1,1[, h(x) =

+∞

X

n=1

Hnxn. Montrer que pour tout x ∈]−1,1[, on a h(x)−xh(x) = −ln(1−x).

3. On consid`ere maintenant une suite quelconque (un)n∈N de r´eels strictement positifs, on posevn =Pn

i=0ui. Soit Ru le rayon de convergence de la s´erie enti`ere P

unzn, et Rv le rayon de convergence de la s´erie P

vnzn. Montrer que Rv >min(1, Ru).

4. On suppose de plus que lim

n→+∞un= 0. Montrer qu’alors Ru >1 et Rv = 1.

5. Pour toutx∈]−1,1[ on posef(x) = P+∞

n=0unxn. Montrer qu’alors pour toutx∈]−1,1[,

on a +∞

X

n=0

vnxn= f(x) 1−x. Exercice 2. Une suite r´ecurrente.

On consid`ere la suite (an)n∈N d´efinie par r´ecurrence par : a0 = 1 et pour tout n >1, an+1= 2an+ 2n.

1. Montrer que la suite (an) est croissante et que pour tout n∈N, an64n. 2. On note R le rayon de convergence de la s´erie P

anzn. Montrer que R> 14. 3. On note, pour x∈]−R, R[,f(x) = P+∞

n=0anxn. Montrer que pour toutx∈]−14,14[, on a

+∞

X

n=0

an+1xn= 2f(x) +

+∞

X

n=0

(2x)n.

4. En d´eduire que pour tout x∈]− 14,14[, on a f(x)−1 =x

2f(x) + 1 1−2x

.

5. En d´eduire une expression pour f(x) sous forme de fraction rationnelle.

6. D´evelopper en s´erie enti`ere l’expression trouv´ee `a la question pr´ec´edente pour montrer que pour tout n∈N, an= (n+ 2)2n−1.

Universit´e de Paris 1 UFR de math´ematiques

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