Universit´e de Reims Champagne Ardenne UFR Sciences Exactes et Naturelles
Ann´ee universitaire 2013-2014 SEN 0505 - Licence 3
Devoir Maison 1 - ` A rendre le Mardi 5 Novembre
Exercice 1 D´emonstration du th´eor`eme de Thal`es par les aires
On consid`ere un triangle ABC, N un point de [AC] et M un point de [AB] tels que (M N) soit parall`ele `a (BC). Le but de cet exercice est de d´emontrer l’´egalit´e AMAB = ANAC.
1. Construire la figure `a la r`egle et au compas. Expliquer la construction.
2. Soit I le point d’intersection de (AB) et de la perpendiculaire `a (AB) passant par C. Apr`es avoir calcul´e les aires AAM C et AABC des triangles AM C etABC, montrer que AAAM C
ABC = AMAB. 3. Soit J le point d’intersection de (AC) et de la perpendiculaire `a (AC) passant par B. De la
mˆeme fa¸con que pr´ec´edement, montrer que AAAN B
ABC = ANAC.
4. (a) Expliquer pourquoi les triangles BM C et BN C ont des aires ´egales.
(b) Expliquer pourquoi les aires des triangles AM C etAN B sont elles aussi ´egales.
(c) Que dire alors des quotients AAAM C
ABC et AAAN B
ABC ? (d) Conclure.
Exercice 2 On consid`ere ABC un triangle isoc`ele enAetE le sym´etrique deB par rapport `aA.
1. Construire la figure `a la r`egle et au compas. Expliquer la construction.
2. Quelle est la nature du triangle BCE? Justifier.
3. Montrer que EAC[ = 2ABC[.
4. Soient C le cercle de centreC et tangent `a la droite (EB) etC0 le cercle de centreE et tangent
`
a la droite (BC). Les cerclesC etC0 se coupent en F etG.
(a) Construire F et G.
(b) Quelle est la nature des triangles EF G etCGF ? Justifier.
(c) Montrer que les droites (F G) et (BC) sont parall`eles.
Exercice 3 On consid`ere deux droites D etD0 s´ecantes enO.
1. (a) Rappeler la d´efinition des bissectrices d’un couple de droites s´ecantes.
(b) Construire `a la r`egle et au compas les bissectrices, not´ees ∆1 et ∆2, deD etD0. Expliquer la construction.
2. Le cercle C de centreO et de rayon R coupe D en deux points A etB et D0 enC et D.
(a) Que dire du quadrilat`ere ACBD? Justifier.
(b) On note E, F, G, H les milieux des [AC],[CB],[BD] et [DA]. D´emontrer que le quadri- lat`ere EF GH est un losange.
