Devoir Maison à rendre pour le vendredi 22 Novembre

(1)

Devoir Maison à rendre pour le vendredi 22 Novembre

Exercice 1

Donner les résultats en faisant référence à un résultat du cours (par exemple : nombre dep-listes, nombre de parties àp éléments, etc)

1. Huit athlètes participent à une finale de 100 mètres. Combien y a-t-il de podiums possibles.

2. Dans une classe de 28 élèves, il faut choisir 2 délégués. Combien y a-t-il de pairs possibles ?

3. Dix amis écrivent leur nom sur un papier et ils mettent les 10 papiers dans une boite. Chacun tire ensuite un papier au hasard sans le remettre dans la boite. Combien y a-t-il de résultats possibles (un résultat est le tirage des 10 personnes).

4. Dans une association contenant 12 personnes, il faut désigner un président, un vice-président et un secrétaire.

Combien y a-t-il de possibilités.

5. Une maison d’édition reçoit 10 livres. Parmi ces 10 livres, elle décide de n’en éditer que 4. Combien y a-t-il de possibilités.

6. Un grand magasin contient 10 caisses, numérotées de 1 à 10. Quatres clients arrivent simultanément alors que les caisses sont vides. Ils se mettent à des caisses différentes. Combien y a-t-il de possibilités en discernant les clients ?

7. Même question que précédemment mais sans discernant les clients.

Solution. 1. Nombre de 3-listes deJ1,8K. Donc^8!_5! =8×7×6.

2. Nombre de parties à deux éléments dans un ensemble à 28 éléments 28 2

!

=^28×27₂ .

3. Nombre de permutations :10!.

4. Nombre de3-listes :^12!_9!.

5. Nombre de parties à4éléments : 10 4

! .

6. Nombre de 4-listes (en numérotant les clients de 1 à 4) : ^10!_6!. 7. Nombre de parties à 4 éléments : 10

4

! .

Exercice 2

Une urne contient 15 boules numérotées de 1 à 15. On tire 9 boules, une à une et sans remise. Les trois premières boules tirées sont placées dans le sac numéro 1, les trois suivantes dans le sac numéro 2 et les trois dernières dans le sac numéro 3.

1. Combien y a-t-il de tirages possibles (avant de ranger les boules dans les sacs) ?

2. Combien y a-t-il de tirages possibles tels que le sac 1 contienne les boules 1,2 et 3, le sac 2 les boules 4,5 et 6 et le sac 3 les boules 7,8 et 9 ?

3. En déduire combien y a-t-il de manières possibles de ranger 9 des 15 boules dans les 3 sacs ?

4. En déduire combien y a-t-il de manières de ranger 9 des 15 boules dans les 3 sacs si on ne fait pas attention à l’ordre des sacs ?

PCSI - Lycée de l’Essouriau 1 2019-2020

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Devoir Maison à rendre pour le vendredi 22 Novembre

Solution. 1. Il s’agit du nombre de 9-listes deJ1,15K. Il y en a donc^15!_6!.

2. Le tirage1,2,3,4,5,6,7,8,9donne bien un tel rangement. Cependant on peut permuter les boules 1,2 et 3, ce qui multiplie par3!le nombre de tirages possibles. On peut aussi permuter les boules 4,5 et 6, puis les boules 7,8 et 9, ce qui donne3!×3!×3!=6³=216.

3. Il y a donc ^15!_6! ×₂₁₆¹ . manière de ranger 9 boules dans les 3 sacs.

4. Si on ne prend pas l’ordre des sacs en compte, alors on peut permuter les 3 sacs, ce qui divise le nombre précédent par3!=6. Il y a donc^15!_6! ×_6×216¹ possibilités.

Exercice 3

Soitnun entier naturel non nul.

1. CalculerS₁=

n

∑

k=0

n k

.

2. On souhaite calculerS₂=

n k=1

∑

k n

k

de deux façons.

(a) Prouver que pourk∈[[1,n]],k ⁿ_k

=n ⁿ⁻¹_k−1

et en déduireS₂.

(b) En utilisant la dérivée de la forme factorisée et la forme développée de la fonction f :x7→(1+x)ⁿ, calculer S₂.

3. S’inspirer du2.(b) pour calculerS₃=

n

∑

k=1

k² n

k

.

4. Calculer finalementS₄=

n

∑

k=0

1 k+1

n k

.

Solution. 1. D’après la formule du binôme de Newton : S₁=

n

∑

k=0

n k

=

n

∑

k=0

n k

1^k×1^n−k= (1+1)ⁿ=2ⁿ. 2. On souhaite calculer S₂=

n

∑

k=1

k n

k

de deux façons.

(a) Il suffit d’écrire avec les factorielles, pour k∈[[1,n]]: k

n k

=k n!

(n−k)!k!= n!

(n−k)!(k−1)!=n (n−1)!

((n−1)−(k−1))!(k−1)!=n n−1

k−1

On a alors, toujours avec la formule du binôme après un changement d’indice : S₂=

n k=1

∑

k n

k

=

n k=1

∑

n n−1

k−1

=n

n−1

∑

j=0

n−1 j

=n2ⁿ⁻¹ (b) f est dérivable surRen tant que fonction polynomiale et pour tout x dansR:

— Sous forme factorisée : f(x) = (1+x)ⁿet f⁰(x) =n(1+x)ⁿ⁻¹.

— Sous forme développée : f(x) =

n

∑

k=0

n k

x^ket f⁰(x) =

n

∑

k=1

n k

kx^k−1. (le terme d’indice k=0a une dérivée nulle.)

Pour x=1on trouve par identification f⁰(1) =n2ⁿ⁻¹=

n

∑

k=1

n k

k=S₂. 3. On calcule la dérivée seconde :

(3)

Devoir Maison à rendre pour le vendredi 22 Novembre

— Sous forme factorisée : f⁰⁰(x) =n(n−1)(1+x)ⁿ⁻².

— Sous forme développée : f⁰⁰(x) =

n

∑

k=2

n k

k(k−1)x^k−2=

n

∑

k=1

n k

k(k−1)x^k−2.

(le terme d’indice k=1a une dérivée nulle, mais on peut le rajouter dans la somme finalement vu sa valeur nulle.)

Pour x=1on trouve :

f⁰(1) =

n

∑

k=1

n k

k(k−1) =

n

∑

k=1

n k

k²−

n

∑

k=1

n k

k=S3−S2

Ainsi par identification :

S3=f⁰⁰(1) +S2=n(n−1)2ⁿ⁻²+n2ⁿ⁻¹=n2ⁿ⁻²(n−1+2) =2ⁿ⁻²n(n+1) 4. Pour S4, intégrons plutôt la fonction f entre0et x :

F(x) = Z _x

0

f(t)dt= 1

n+1(1+t)ⁿ⁺¹ x

0

= 1

n+1[(1+x)ⁿ⁺¹−1]

et avec la forme développée :

F(x) = Z _x

0 n k=0

∑

n k

t^k

! dt=

n k=0

∑

n k

1 k+1x^k+1 Toujours pour x=1, par identification on obtient S₄=

n k=0

∑

1 k+1

n k

=2ⁿ⁺¹−1 n+1 .

Exercice 4

On donne le Lemme de Gauss : Siadiviseb×cet siaest premier avecb, alorsadivisec.

Soitpun nombre premier.

1. Soitk∈J1,p−1K. Montrer que petk! sont premiers entre eux et quepdivise _(p−k)!^p! . En déduire que p k

! est divisible parp.

2. SoientaetbdansN. Montrer que :p|(a+b)^p−a^p−b^p. 3. En déduire par récurrence que pour toutm∈N^∗:p|m^p−m.

4. Montrer que pour toutm∈N^∗premier avecp:p|m^p−1−1

Solution. 1. Les diviseurs premiers de k!sont tous inférieurs à k donc strictement inférieurs à p, donc p n’apparait pas dans la décomposition en facteurs premiers de k!. Comme p est premier, p et k!sont premiers entre eux.

p!

(p−k)!=

k−1

∏

j=0

(p−j) =p×

k−1

∏

j=1

(p−j),

donc p divise₍_p−k)!^p! . Donc, p divise k! p k

!

et p et k!sont premiers entre eux, donc par le lemme de Gauss, p divise p k

! .

(4)

Devoir Maison à rendre pour le vendredi 22 Novembre

2. D’après la formule du binome de Newton, (a+b)^p=

p

∑

k=0

p k

!

a^kb^p−k=a^p+b^p+

p−1

∑

k=1

p k

! a^kb^p−k.

On a vu que pour tout k∈J1,p−1K, p divise p k

!

, donc p divise∑_k=1^p−1 p k

!

a^kb^p−kqui vaut bien(a+b)^p−a^p− b^p.

3. Par récurrence. Pour m=1, m^p−m=0et p divise0. Supposons que p divise m^p−m. On sait que, p|(m+1)^p− m^p−1^p. Donc, p divise(m+1)^p−m^p−1^p+m^p−m= (m+1)^p−(m+1),ce qui est bien la propriété au rang m+1. On a donc montré par récurrence que, pour tout m∈N^∗: p|m^p−m.

4. Soit m∈N^∗premier avec p. Alors p|m×(m^p−1−1), donc, d’après le lemme de Gauss, p|m^p−1−1.