ECS2 Lyc´ee Louis Pergaud
Devoir maison ` a rendre le 22/09/2021
DM1
Exercice 1
Nous admettrons dans la suite que la s´erie P
n>1
1
n2 converge et qu’on a
+∞
P
n=1
1 n2 =π2
6 . 1. (a) Montrer que, pour tout couple (x, y)∈([0,+∞[)2, la s´erie P
n>1
1
(n+x)(n+y)et la s´erie P
n>1
1 (n+x)2(n+y) convergent.
(b) Montrer que, pour toutxde [0,+∞[, la s´erie P
n>1
1 n − 1
n+x
converge.
On noteS l’application d´efinie, pour toutxde [0,+∞[, parS(x) =
+∞
P
n=1
1 n− 1
n+x
. 2. CalculerS(0) etS(1).
3. (a) ´Etablir : ∀(x, y)∈([0,+∞[)2, S(y)−S(x) = (y−x)
+∞
P
n=1
1 (n+x)(n+y). (b) En d´eduire: ∀(x, y)∈([0,+∞[)2, |S(y)−S(x)| ≤ π2
6 |y−x|. (c) Montrer alors que la fonctionS est continue sur [0,+∞[.
4. (a) Montrer, pour tout couple (x, y) de ([0,+∞[)2 tel quex6=y:
S(y)−S(x) y−x −
+∞
X
n=1
1 (n+x)2
6|y−x|
+∞
X
n=1
1 n3.
(b) En d´eduire que la fonctionS est d´erivable sur [0,+∞[ et que :
∀x∈[0,+∞[, S0(x) =
+∞
X
n=1
1 (n+x)2. (c) Pr´eciser les valeurs deS0(0) etS0(1).
5. On admet queS estC1. Montrer queS est concave.
6. Soitx∈]0,+∞[ fix´e. On noteϕla fonction d´efinie sur [1,+∞[ par :
∀t∈[1,+∞[, ϕ(t) = 1 t − 1
t+x. (a) Montrer que l’int´egrale
Z +∞
1
ϕ(t)dtconverge et calculer sa valeur.
(b) Montrer que pour toutn∈N∗,ϕ(n+ 1)6 Z n+1
n
ϕ(t)dt6ϕ(n). En d´eduire que : Z +∞
1
ϕ(t)dt6S(x)61 + Z +∞
1
ϕ(t)dt.
(c) Conclure queS(x) ∼
x→+∞ln(x+ 1). En d´eduire queS(x) ∼
x→+∞ln(x).
7. (a) Dresser le tableau de variation deS, en pr´ecisant la limite de S en +∞.
(b) Tracer l’allure de la courbe repr´esentative deS.
1
