ECS2 Lyc´ee Louis Pergaud
Devoir maison type parisiennes ` a rendre le 22/09/2021
DM2
Notations et objectifs.
Dans tout le probl`eme,E d´esigne l’espace vectoriel r´eel des fonctions continues sur le segment [ 0,1 ] et `a valeurs r´eelles.
Sous r´eserve d’existence, on noteϕ:x7→ 1 x −
+∞
P
n=1
2x
n2−x2 etψ:x7→
+∞
X
n=1
(−1)n−1 x n2−x2.
Le but du probl`eme est d’obtenir, `a l’aide des fonctions ϕetψ, des expressions des fonctions sin, 1 sin et cos
sin comme somme de s´eries ou produit infini (on parle de d´eveloppements eul´eriens).
Plus pr´ecis´ement, dans la partie I, on ´etudie les premi`eres propri´et´es de la fonction ϕ; dans la seconde partie, on introduit et on ´etudie l’op´erateurT d´efini sur E par :
∀f ∈E, ∀x∈[ 0,1 ], [T(f)](x) =fx 2
+f
x+ 1 2
On en d´eduit une expression de la fonction cos
sin puis, dans la partie III, de la fonction sinus. Enfin, dans la partie IV, l’´etude de la fonction ψ permet d’obtenir une expression de 1
sin. Partie I : ´Etude de la fonction ϕ.
1. Montrer que, pour tout nombre r´eel x qui n’est pas un entier relatif, la s´erie de terme g´en´eral un(x) = 2x
n2−x2 est convergente.
Dans la suite, on noteraD l’ensemble des nombres r´eels qui ne sont pas des entiers relatifs.
La fonctionϕest donc d´efinie surD.
2. Imparit´e et p´eriodicit´e deϕ: (a) Justifier queϕ est impaire.
(b) V´erifier que pour x dansD: 2x
n2−x2 = 1
n−x− 1 n+x. (c) Montrer que pourx dansD: ϕ(x+ 1) =ϕ(x).
La fonctionϕest donc p´eriodique de p´eriode 1.
3. Continuit´e de ϕ:
(a) Justifier pour x dans l’ensembleD∪ {0,1}, l’existence de g(x) =
+∞
P
n=2
2x n2−x2 =
+∞
P
n=2
1
n−x− 1 n+x
(b) V´erifier que : ∀x∈D, ϕ(x) = 1 x − 1
1−x+ 1
1 +x−g(x).
(c) Soit hun nombre r´eel de
−1 2, 1
2
, montrer que :
∀x∈[ 0,1 ], |g(x+h)−g(x)| ≤C|h|
o`u C=
+∞
P
n=2
2 (n−1)
n−3
2 .
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(d) En d´eduire queg est continue sur [ 0,1 ] puis queϕest continue sur ] 0,1 [.
La fonctionϕest donc continue sur D.
4. ´Etude deϕen 0 et en 1 : (a) Montrer queϕ(x) ∼
x→0
1
x et que : lim
x→0
ϕ(x)−1 x
= 0.
(b) Obtenir des r´esultats similaires lorsquex tend vers 1.
Partie II : ´Etude de l’op´erateur T.
On rappelle que E d´esigne l’espace vectoriel r´eel des fonctions continues sur le segment [ 0,1 ] et `a valeurs r´eelles.
T est l’application d´efinie surE par : ∀f ∈E,∀x∈[ 0,1 ], [T(f)](x) =fx 2
+f
x+ 1 2
.
On note, pour tout entier naturel k,ek l’´el´ement deE d´efini par : ∀x∈[ 0,1 ], ek(x) =xk et pour tout entier naturel n,Fn le sous-espace vectoriel deE dont une base estBn= (ek)k∈J0,nK.
5. V´erifier que T est un endomorphisme de E.
6. ´Etude deT sur Fn :
(a) V´erifier que ∀f ∈Fn, T(f)∈Fn.
On note Tn l’endomorphisme deFn d´efini par∀f ∈Fn,Tn(f) =T(f).
(b) D´eterminer la matrice de Tn dans la base Bn.
(c) (Cubes) Quelles sont les valeurs propres deTn ? Tn est-il diagonalisable ? 7. ´Etude du noyau de l’endomorphisme (T −2 idE) :
(a) Montrer que Ker (T−2 idE) n’est pas r´eduit `a {0E}.
Soit f un ´el´ement de Ker (T−2 idE). On note m= min
x∈[ 0,1 ]f(x) etM = max
x∈[ 0,1 ]f(x). On fixex0 dans [ 0,1 ] tel quem=f(x0) etx1 dans [ 0,1 ] tel queM =f(x1).
(b) Montrer quef x0
2
=m.
(c) En d´eduire que : ∀n∈N,fx0 2n
=m.
(d) En d´eduire quem=f(0).
(e) Faire une ´etude similaire pour M. (f) Montrer alors quef est constante.
8. ´Etude de la fonction cot :
Pour toutx dans l’ensembleD, on note cot(x) =πcos(πx) sin(πx).
(a) V´erifier que cot est d´efinie et continue surD, qu’elle est impaire et p´eriodique de p´eriode 1.
(b) Montrer que cot(x) ∼
x→0
1
x et que cot(x)− 1 x ∼
x→0−π2 3 x.
(c) Obtenir des r´esultats similaires lorsquex tend vers 1.
(d) D´emontrer que, pour tout nombre r´eel x dansD, on a : x
2 ∈D, x+ 1
2 ∈D et cotx
2
+ cot
x+ 1 2
= 2cot(x) 9. Calcul de ϕ:
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(a) V´erifier que, pour tout nombre r´eelx dans D,ϕ x
2
+ϕ
x+ 1 2
= 2ϕ(x).
(b) Montrer queϕ−cot se prolonge par continuit´e sur [ 0,1 ].
(c) D´emontrer alors que ϕ= cot.
Autrement dit : ∀x∈D, πcos(πx) sin(πx) = 1
x −
+∞
P
n=1
2x n2−x2. 10. Premi`ere application :
(a) D´eterminer lim
x→0
1−xcot(x) 2x2 .
Pour tout nombre r´eel x dans ] 0,1 [, on poseδ(x) =
+∞
P
n=1
1 n2−x2 −
+∞
P
n=1
1 n2. (b) V´erifier que
δ(x)− x2 1−x2
≤x2
+∞
P
n=2
1 n2(n2−1). (c) En d´eduire que lim
x→0 +∞
P
n=1
1 n2−x2 =
+∞
P
n=1
1 n2. (d) D´eterminer
+∞
P
n=1
1 n2.
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