Lycée Fénelon Sainte-Marie Classe de MP
Année 2019-2020 Mathématiques
Devoir maison n ◦ 09
À rendre le mardi 26 novembre 2019
Durée : 2-3 heures — toute calculatrice interdite
Il est utile en physique, notamment pour étudier des spectres d’énergie ou pour décomposer un signal périodique en harmoniques, de pouvoir écrire une fonction périodique en somme d’une série de fonctions trigonométriques.
Nous allons nous intéresser à l’aspect mathématique de cette décomposition pour les fonctions de période2π.
Dans ce qui suit, on appelle « série trigonométrique » une série de fonctions du type X
n
ancos(nx) +bnsin(nx)
où(an)n et (bn)n sont deux suites de réels.
Dans la première partie, on étudie quelques exemples. Dans la deuxième partie, on s’intéresse plus particulièrement aux séries trigonométriques qui convergent normalement surR.
On notera C2π l’espace vectoriel des fonctions continues et 2π-périodiques deRdansR. On notera :
∀f ∈C2π, ∀n∈N, αn(f) = 1 π
Z π
−π
f(x) cos(nx)dx, βn(f) = 1 π
Z π
−π
f(x) sin(nx)dx.
M. Cochet. Pour une fonction f ∈C2π donnée, sa série de Fourier est la série trigonométrique X
αn(f) cos(nx) + βn(f) sin(nx). Ce problème cherche sous quelle condition une fonction est égale à sa série de Fourier.
Partie 1 : exemples (à faire)
Q1. Démontrer que la série trigonométriqueX
n
1
2n cos(nx) + 1
3n sin(nx)
converge normalement surR.
Pour tout entierp≥2, déterminer la somme de la sérieX
n≥0
eix p
n
puis en déduire la valeur de
+∞
X
n=0
1
2ncos(nx) + 1
3nsin(nx)
(il n’est pas utile de réduire au même dénominateur).
Q2. Écrire la fonctionϕ:x7→exp(cos(x)) cos(sin(x))comme la somme d’une série trigonométrique.
On pourra écrire la fonctionx7→exp(eix)comme somme de série de fonctions.
Q3. Donner un exemple de suite (an)n de limite nulle telle que la série trigonométriqueX
ancos(nx) ne converge pas simplement surR.
Q4. On admet que la série trigonométrique X
n≥1
√1
nsin(nx)converge simplement surR. Converge-t-elle normalement surR?
Partie 2 : propriétés (à faire jusqu’à Q10 incluse)
Une condition suffisante Q5. Démontrer que si les sériesX
anetX
bnsont absolument convergentes, alors la série trigonométriqueX
ancos(nx)+
bnsin(nx)converge normalement surR. Une condition nécessaire
Q6. Soienta,bdansRquelconques. Démontrer que le maximum de la fonctionx7→ |acos(x) +bsin(x)|est√ a2+b2.
1
Q7. Démontrer que si la série trigonométrique X
ancos(nx) +bnsin(nx) converge normalement sur R, alors les suites(an)n et(bn)n convergent vers0et les séries X
an etX
bn sont absolument convergentes.
Autres propriétés
Q8. On notef la somme d’une série trigonométriqueX
ancos(nx) +bnsin(nx)qui converge normalement surR. Justifier que f ∈C2π.
Q9. Calculer Z π
−π
cos2(nx)dxpourn6= 0et donner la valeur de Z π
−π
sin(kx) cos(nx)dxpour ketnentiers.
Q10. On note f la somme d’une série trigonométriqueX
ancos(nx) +bnsin(nx)qui converge normalement sur R: pour tout réelx,f(x) =
+∞
X
k=0
akcos(kx) +bksin(kx).
Démontrer que pour tout entier naturelnnon nul,αn(f) =anpuis exprimerα0(f)en fonction dea0. On pourra utiliser sans démonstration que pour k6=n,
Z π
−π
cos(kx) cos(nx)dx= 0.
fin du devoir maison
On admet, pour la suite du problème, que pour tout n∈N∗ :βn(f) =bn et β0(f) = 0(démo non demandée).
Q11. Soitf ∈C2π. Pourx∈Retn∈N∗, on poseu0(x) = α0(f)
2 etun(x) =αn(f) cos(nx) +βn(f) sin(nx).
On suppose ici que la série trigonométriqueX
un(x)converge normalement surRvers une fonction notéeg :
∀x∈R, g(x) = α0(f)
2 +
+∞
X
k=1
αk(f) cos(kx) +βk(f) sin(kx).
Quelles relations a-t-on dans ce cas entreαn(g)et αn(f)?βn(g)et βn(f)?
Q12. Il est admis que si une fonction h∈ C2π vérifie : pour toutn ∈N,αn(h) =βn(h) = 0, alorshest la fonction nulle. Démontrer que pour tout réelx,g(x) =f(x).
En résumé, lorsque la série trigonométrique X
αn(f) cos(nx) +βn(f) sin(nx) d’une fonction f ∈ C2π converge normalement queRalors pour tout réelx, on a
f(x) = α0(f)
2 +
+∞
X
n=1
αn(f) cos(nx) +βn(f) sin(nx).
Q13. Sif ∈C2πest une fonction paire, que vautβn(f)? Exprimer, sans démonstration,αn(f)en fonction de l’intégrale Z π
0
f(x) cos(nx)dx.
Q14. Exemple. Soitf ∈C2π définie ainsi : pour toutx∈[−π, π],f(x) =x2 et f est 2π-périodique surR.
Construire la courbe de cette fonction pairef sur l’intervalle[−3π,3π]puis déterminer, pour tout entier naturel, les coefficientsαn(f)etβn(f). Donner une série trigonométrique qui converge normalement surRversf. Q15. En déduire les sommes
+∞
X
n=1
(−1)n n2 et
+∞
X
n=1
1
n2. Déduire alors de la seconde somme la valeur de
+∞
X
n=1
1 (2n+ 1)2. Q16. Pour 5demi seulement. Application. Justifier que la fonction x 7→ ln(1 +x)
x est intégrable sur l’intervalle ]0,1[puis démontrer que
Z 1
0
ln(1 +x)
x dx= π2 12.
Q17. La somme d’une série trigonométrique qui converge normalement sur R est-elle nécessairement une fonction dérivable surR?
Pour 5demi seulement.Proposer une condition suffisante sur les sériesX
nan etX
nbn pour que la somme de la sérieX
ancos(nx) +bnsin(nx)qui converge normalement surRsoit une fonction dérivable surR. Q18. Déterminer la somme de la série trigonométriqueX n
3ncos(nx).
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