SESSION 2017 MPMA102
EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP ____________________
MATHEMATIQUES 1
Mardi 2 mai : 14 h - 18 h ____________________
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.
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Les calculatrices sont interdites
Le sujet est composé de deux exercices et d’un problème tous indépendants.
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EXERCICE 1
On définit deux fonctions :
— la fonction f de R2 dans R par f (x, y) = sin(x2− y2),
— la fonction g de R2dans R2par g(x, y) = (x + y, x − y).
Q1. Justifier que les fonctions f et g sont différentiables en tout vecteur (x, y) ∈ R2 et écrire la matrice jacobienne de f puis de g en (x, y).
Q2. Pour (x, y) ∈ R2, déterminer l’image d’un vecteur (u, v) ∈ R2par l’application linéaire d( f ◦ g)((x, y)) en utilisant les deux méthodes suivantes :
1. en calculant f ◦ g ;
2. en utilisant le produit de deux matrices jacobiennes.
EXERCICE 2
On admet que
+∞
n=1
1 n2 = π2
6 et on pose A = N∗× N∗. Q3. Démontrer que la famille 1
p2q2
(p,q)∈A
est sommable et calculer sa somme.
Q4. Démontrer que la famille
1
p2+q2
(p,q)∈A
n’est pas sommable.
PROBLÈME Séries trigonométriques
Il est utile en physique, notamment pour étudier des spectres d’énergie ou pour décomposer un si- gnal périodique en harmoniques, de pouvoir écrire une fonction périodique en somme d’une série de fonctions trigonométriques.
Nous allons nous intéresser à l’aspect mathématique de cette décomposition pour les fonctions de période 2π.
Dans ce qui suit, on appelle “série trigonométrique” une série de fonctions du type : [ancos(nx) + bnsin(nx)] où (an) et (bn) sont deux suites de réels.
Dans la première partie, on étudie quelques exemples. Dans la deuxième partie, on s’intéresse plus particulièrement aux séries trigonométriques qui convergent normalement sur R.
On notera C2π l’espace vectoriel des fonctions continues et 2π-périodiques de R dans R.
Pour une fonction f élément de C2π, on notera, pour tout entier naturel n :
αn( f ) = 1 π
π
−π f (x) cos(nx) dx et βn( f ) = 1 π
π
−π f (x) sin(nx) dx .
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EXERCICE 1
On définit deux fonctions :
— la fonction f de R2dans R par f (x, y) = sin(x2− y2),
— la fonction g de R2dans R2par g(x, y) = (x + y, x − y).
Q1. Justifier que les fonctions f et g sont différentiables en tout vecteur (x, y) ∈ R2 et écrire la matrice jacobienne de f puis de g en (x, y).
Q2. Pour (x, y) ∈ R2, déterminer l’image d’un vecteur (u, v) ∈ R2par l’application linéaire d( f ◦ g)((x, y)) en utilisant les deux méthodes suivantes :
1. en calculant f ◦ g ;
2. en utilisant le produit de deux matrices jacobiennes.
EXERCICE 2
On admet que
+∞
n=1
1 n2 = π2
6 et on pose A = N∗× N∗. Q3. Démontrer que la famille 1
p2q2
(p,q)∈A
est sommable et calculer sa somme.
Q4. Démontrer que la famille
1
p2+q2
(p,q)∈A
n’est pas sommable.
PROBLÈME Séries trigonométriques
Il est utile en physique, notamment pour étudier des spectres d’énergie ou pour décomposer un si- gnal périodique en harmoniques, de pouvoir écrire une fonction périodique en somme d’une série de fonctions trigonométriques.
Nous allons nous intéresser à l’aspect mathématique de cette décomposition pour les fonctions de période 2π.
Dans ce qui suit, on appelle “série trigonométrique” une série de fonctions du type : [ancos(nx) + bnsin(nx)] où (an) et (bn) sont deux suites de réels.
Dans la première partie, on étudie quelques exemples. Dans la deuxième partie, on s’intéresse plus particulièrement aux séries trigonométriques qui convergent normalement sur R.
On notera C2π l’espace vectoriel des fonctions continues et 2π-périodiques de R dans R.
Pour une fonction f élément de C2π, on notera, pour tout entier naturel n :
αn( f ) = 1 π
π
−π f (x) cos(nx) dx et βn( f ) = 1 π
π
−π f (x) sin(nx) dx .
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Partie I - Exemples
Q5. Démontrer que la série trigonométrique 1
2n cos(nx) + 1
3nsin(nx)
converge normalement sur R. Pour tout entier p ≥ 2, déterminer la somme de la série
n≥0
eix p
n
puis en déduire la valeur de
+∞
n=0
1
2n cos(nx) + 1
3n sin(nx)
(il n’est pas utile de réduire au même dénominateur).
Q6. Écrire la fonction ϕ : x → exp(cos x) cos(sin x) comme la somme d’une série trigonométrique.
On pourra écrire la fonction x → exp(eix) comme la somme d’une série de fonctions.
Q7. Donner un exemple de suite (an) de limite nulle, telle que la série trigonométrique
an cos(nx) ne converge pas simplement sur R.
Q8. On admet que la série trigonométrique
n≥1
√1nsin(nx) converge simplement sur R. Converge- t-elle normalement sur R ?
Partie II - Propriétés
Une condition suffisante
Q9. Démontrer que si les séries
an et
bn sont absolument convergentes, alors la série trigo- nométrique
[ancos(nx) + bnsin(nx)] converge normalement sur R.
Une condition nécessaire
Q10. Soient a et b deux réels quelconques.
Démontrer que le maximun sur R de la fonction x → |a cos x + b sin x| est √
a2+b2. Q11. Démontrer que si la série trigonométrique
[ancos(nx) + bnsin(nx)] converge normalement sur R, alors les suites (an) et (bn) convergent vers 0 et les séries
an et
bn sont absolument convergentes.
Autres propriétés
Q12. On note f la somme d’une série trigonométrique
[ancos(nx) + bnsin(nx)] qui converge normalement sur R. Justifier que f ∈ C2π.
Q13. Calculer π
−πcos2(nx)dx pour n 0 et donner la valeur de π
−πsin(kx) cos(nx)dx pour k n.
Q14. On note f la somme d’une série trigonométrique
[ancos(nx) + bnsin(nx)] qui converge normalement sur R : pour tout réel x, f (x) =
+∞
k=0
[akcos(kx) + bksin(kx)]. Démontrer que pour tout
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entier naturel n non nul αn( f ) = an puis exprimer α0( f ) en fonction de a0. On pourra utiliser sans démonstration que pour k n : π
−πcos(kx) cos(nx)dx = 0.
On admettra, pour la suite du problème, que pour tout entier naturel n non nul βn( f ) = bnet β0( f ) = 0 (la démonstration n’est pas demandée).
Q15. Soit f ∈ C2π. Pour tout réel x, on pose u0(x) = α0( f )
2 . Pour tout entier n 1, on pose un(x) = αn( f ) cos(nx) + βn( f ) sin(nx). On suppose ici que la série trigonométrique
un(x) converge normalement sur R vers une fonction notée g :
pour tout réel x, g(x) = α0( f )
2 +
+∞
k=1
αk( f ) cos(kx) + βk( f ) sin(kx) .
Quelles relations a-t-on dans ce cas entre αn(g) et αn( f ) ? βn(g) et βn( f ) ?
Q16. Il est admis que si une fonction h ∈ C2π vérifie, pour tout entier naturel n : αn(h) = βn(h) = 0, alors h est la fonction nulle. Démontrer que pour tout réel x, g(x) = f (x).
En résumé, lorsque la série trigonométrique αn( f ) cos(nx) + βn( f ) sin(nx) d’une fonction f ∈ C2πconverge normalement sur R, pour tout réel x, on a :
f (x) = α0( f )
2 +
+∞
n=1
αn( f ) cos(nx) + βn( f ) sin(nx) .
Q17. Si f ∈ C2π est une fonction paire, que vaut βn( f ) ? Exprimer, sans démonstration, αn( f ) en fonction de l’intégrale π
0 f (x) cos(nx) dx.
Q18. Exemple. Soit f ∈ C2π définie ainsi : pour tout x ∈ [−π, π], f (x) = x2 et f est 2π-périodique sur R. Construire la courbe de cette fonction paire f sur l’intervalle [−3π, 3π] puis déterminer, pour tout entier naturel, les coefficients αn( f ) et βn( f ). Donner une série trigonométrique qui converge normalement sur R vers f .
Q19. En déduire les sommes :
+∞
n=1
(−1)n n2 et
+∞
n=1
1
n2. Déduire alors de
+∞
n=1
1
n2 la somme
+∞
n=0
1 (2n + 1)2. Q20. Application. Justifier que la fonction x → ln(1 + x)
x est intégrable sur l’intervalle ]0, 1[ puis démontrer que 1
0
ln(1 + x)
x dx =π2 12.
Q21. La somme d’une série trigonométrique qui converge normalement sur R est-elle nécessaire- ment une fonction dérivable sur R ?
Proposer une condition suffisante sur les séries
nanet
nbnpour que la somme de la série trigo- nométrique
[ancos(nx) + bnsin(nx)], qui converge normalement sur R, soit une fonction dérivable sur R.
Q22. Déterminer la somme de la série trigonométrique n
3ncos(nx).
FIN
4/4 IMPRIME
RIE NATIONALE – 17 1177 – D’après documents fournis
