Conventions. Dans ce TD, si f est T périodique, on note c

TD5 : Séries de Fourier.

Maths fondamentales, L2, PSL, 2020-2021 D. Gontier, gontier@ceremade.dauphine.fr

Conventions. Dans ce TD, si f est T périodique, on note c

^T_n

(f ) = he

^T_n

, fi

T

avec hf, gi

T

:= R

T 0

f g et e

^T_n

(x) :=

^√1

T

e

^i2πTnx

. On note c

_n

et e

_n

lorsque la valeur de T est claire.

Échauffement, quelques jolies formules

Exercice 1.

Soit f la fonction 1 périodique qui vaut f (x) := |x| sur (−1/2, 1/2).

a/ Montrer que f est continue périodique (f ∈ C

_T⁰₌₁

).

b/ Montrer que

c

n

(f ) = Z

1/2

0

2x cos(2nπx)dx.

c/ Avec une intégration par partie, montrer que si n est paire différent de 0, alors c

_n

(f ) = 0, et que

∀k ∈ Z , c

_2k+1

(f ) = −1

(2k + 1)

²

π

²

, et enfin c

₀

(f ) = 1 4 . d/ En déduire que

1 12 = 1

16 +

∞

X

n=0

2

(2n + 1)

⁴

π

⁴

, puis que

∞

X

n=0

1

(2n + 1)

⁴

= π

⁴

96 . e/ Soit S := P

∞

n=1 1

n⁴

. Montrer que la série est convergente, puis que S =

₁₆¹

S +

^π₉₆⁴

. En déduire que

∞

X

n=1

1 n

⁴

= π

⁴

90 .

Exercice 2.

Soit f la fonction 1-périodique, qui vaut f (x) := e

^2πx

sur [0, 1).

a/ Montrer que

c

n

(f ) := e

^2π

− 1 2π(1 − in) . b/ En déduire que

e

^4π

− 1

4π =

∞

X

n∈Z

(e

^2π

− 1)

²

4π

²

(1 + n

²

) , puis que

∞

X

n=0

1 n

²

+ 1 = π

2

e

^2π

+ 1 e

^2π

− 1 − 1

2 .

Exercice 3.

Soit f la fonction 2π-périodique, qui vaut f (x) := | sin(x)| sur [−π, π].

a/ Montrer que f est continue périodique.

b/ Montrer que (on rappelle que sin(a) cos(b) =

¹₂

sin(a + b) +

¹₂

sin(a − b)) c

n

(f ) =

r 2 π

Z

π

0

sin(x) cos(nx)dx

c/ Montrer que

∀n ∈ Z \ {±1}, c

n

(f ) = − r 2

π

1 + (−1)

ⁿ

n

²

− 1 , puis que c

₋₁

(f ) = c

1

(f ) = 0.

d/ En déduire que c

_n

(f ) = 0 si n est impair, puis que

π = 8 π + 16

π

∞

X

n=1

1

(4n

²

− 1)

²

, et enfin

∞

X

n=1

1

(4n

²

− 1)

²

= π

²

16 − 1

2 . e/ En évaluant f (0), montrer que

∞

X

n=1

1

4n

²

− 1 = 1

2 .

Propriétés de la transformée de Fourier

Exercice 4.

a/ (Dilatations) Soit φ

1

∈ C

_T⁰₌₁

. Pour T > 0, on pose φ

T

(x) :=

_T¹

φ

_T^x

. Montrer que φ

T

∈ C

_T⁰

, puis que

∀n ∈ Z , c

^T_n

(φ

T

) = c

¹_n

(φ

1

).

b/ (Translations) Soit ψ

0

∈ C

_T⁰

. Pour a ∈ R , on note ψ

a

(x) := ψ(x − a). Montrer que ψ

a

∈ C

_T⁰

, puis que

∀n ∈ Z , c

n

(ψ

a

) = e

^i2πTna

c

n

(ψ

0

).

c/ (Conjuguée) Soit f ∈ C

_T⁰

. Montrer que f ∈ C

_T⁰

, puis que pour tout n ∈ Z , on a c

n

f

= c

_−n

(f ).

Exercice 5. (Dérivation simple)

a/ Soit f ∈ C

_T¹

une fonction continûment dérivable. Montrer que c

_n

(f

⁰

) =

i 2π

T

nc

_n

(f ).

b/ Montrer que P

n∈Z

|c

n

(f )| < ∞.

c/ En déduire que S

_N

(f ) converge uniformément vers f lorsque N → ∞.

d/ (Stone-Weierstrass faible) Montrer que l’ensemble des polynômes trigonométriques est dense dans C

_T¹

pour la norme k · k

_∞

: pour tout f ∈ C

_T¹

et tout ε > 0, il existe N ∈ N et P ∈ T

N

tel que kP − f k

_∞

< ε.

e/ Montrer que si f ∈ C

_T^k

est k-fois continûment dérivable, alors il existe C > 0 tel que

∀n ∈ Z , |c

_n

(f )| ≤ C

|n|

^k

.

Remarque : Plus une fonction est régulière, plus ses coefficients décroissent vite vers 0.

Exercice 6. (Inégalité de Wirtinger) a/ Soit f ∈ C

_T¹

telle que R

T

0

f (x)dx = 0. Montrer que c

0

(f ) = 0, puis que (on pourra utiliser l’exercice précédent).

∀n ∈ Z , |c

_n

(f )| ≤ |c

_n

(f

⁰

)|.

b/ En déduire que pour tout f ∈ C

_T¹

, on a Z

T

0

|f − M

f

|

²

≤ Z

T

0

|f

⁰

|

²

, où on a posé M

f

:=

Z

T

0

f.

c/ Quel est l’ensemble des f ∈ C

_T¹

pour lesquels on a égalité ?

Exercice 7. (Convolution et Stone-Weierstrass "fort", -difficile) Soit φ e : R → R de classe C

^∞

tel que φ e ≥ 0, R

R

φ e = 1 et φ(x) = 0 e pour tout |x| ≥ 1/4. Pour δ > 0, on pose f φ

_δ

(x) :=

¹_δ

φ e

^x_δ

.

a/ Faire un dessin approximatif de f φ

_δ

et f φ

_δ

pour un delta "petit".

b/ Montrer que pour tout δ > 0, on a φ f

δ

≥ 0, φ f

δ

(x) = 0 pour tout |x| ≥ δ/4, et R

R

φ f

δ

= 1.

Pour 0 < δ ≤ 1, on pose φ

_δ

la fonction 1-périodique telle que φ

_δ

(x) = φ f

_δ

(x) pour tout |x| < 1/2.

c/ Montrer que pour tout 0 < δ ≤ 1, on a φ

_δ

∈ C

_T^∞

. d/ Soit f ∈ C

_T⁰

. Pour δ ≥ 0, on pose

(f ∗ φ

δ

) (x) :=

Z

1/2

−1/2

f(x − y)φ

δ

(y)dy = Z

1/2

−1/2

f (y)φ

δ

(x − y)dy.

Montrer la deuxième égalité, puis en déduire que f ∗ φ

δ

∈ C

_T^∞

. e/ Montrer que pour tout x ∈ R , on a

f (x) − (f ∗ φ

δ

) (x) = Z

1/2

−1/2

(f (x) − f (x − y)) φ

δ

(y)dy = Z

δ/2

−δ/2

(f (x) − f (x − y)) φ

δ

(y)dy

f/ Montrer que f est uniformément continue. En déduire que pour tout ε ≥ 0, il existe δ > 0 tel que kf − (f ∗ φ

δ

)k

_∞

≤ ε.

h/ (Stone Weierstrass fort) En déduire que les fonction C

_T^∞

sont denses dans C

_T⁰

pour la norme uniforme.

Puis en utilisant l’Exercice 5, montrer que les polynômes trigonométriques sont denses dans C

_T⁰

pour la norme

uniforme.