© Laurent Garcin MP Dumont d’Urville
Devoir à la maison n°10
• Le devoir devra être rédigé sur des copiesdoubles.
• Les copies ne devront comporter ni rature, ni renvoi, ni trace d’effaceur.
• Toute copie ne satisfaisant pas à ces exigences devra être intégralement récrite.
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Problème 1 – D’après CCP MP 2017 - Séries trigonométriques�
� Il est utile en physique, notamment pour étudier des spectres d’énergie ou pour décomposer un signal pé- riodique en harmoniques, de pouvoir écrire une fonction périodique en somme d’une série de fonctions trigo- nométriques.
Nous allons nous intéresser à l’aspect mathématique de cette décomposition pour les fonctions de période2π.
Dans ce qui suit, on appelle «série trigonométrique» une série de fonctions du type
∑(𝑎𝑛cos(𝑛𝑥) + 𝑏𝑛sin(𝑛𝑥)) où(𝑎𝑛)et(𝑏𝑛)sont deux suites de réels.
On notera𝒞2πl’espace vectoriel des fonctions continues et2π-périodiques deℝdansℝ. Pour𝑓 ∈ 𝒞2πet 𝑛 ∈ ℕ, on notera
α𝑛(𝑓) = 1 π∫
π
−π
𝑓(𝑥)cos(𝑛𝑥) d𝑥 et β𝑛(𝑓) = 1 π∫
π
−π
𝑓(𝑥)sin(𝑛𝑥) d𝑥
I Exemples
1 Démontrer que la série trigonométrique∑ ( 1
2𝑛 cos(𝑛𝑥) + 1
3𝑛sin(𝑛𝑥))converge normalement surℝ.
2 Pour tout entier𝑝 ≥ 2, déterminer la somme de la série ∑
𝑛≥0
(𝑒𝑖𝑥 𝑝 )
𝑛
puis en déduire la valeur de
+∞
∑
𝑛=0
( 1
2𝑛cos(𝑛𝑥) + 1
3𝑛 sin(𝑛𝑥)) (il n’est pas utile de réduire au même dénominateur).
3 Ecrire la fonctionφ ∶ 𝑥 ↦exp(cos(𝑥))cos(sin(𝑥))comme la somme d’une série trigonométrique. On pourra écrire la fonction𝑥 ↦exp(𝑒𝑖𝑥)comme somme de série de fonctions.
4 Donner un exemple de suite(𝑎𝑛)de limite nulle telle que la série trigonométrique∑ 𝑎𝑛cos(𝑛𝑥)ne converge pas simplement surℝ.
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II Transformation d’Abel
On considère deux suites réelles(𝑢𝑛)et(𝑣𝑛)et on poseS𝑛 =
𝑛
∑
𝑘=0
𝑢𝑘𝑣𝑘etV𝑛=
𝑛
∑
𝑘=0
𝑣𝑘.
5 En remarquant que pour tout entier𝑘 ≥ 1,𝑣𝑘 = V𝑘− V𝑘−1, montrer que pour tout entier naturel non nul𝑛,
S𝑛 =
𝑛−1
∑
𝑘=0
(𝑢𝑘− 𝑢𝑘+1)V𝑘+ 𝑢𝑛V𝑛
6 On suppose que la suite(V𝑛)est bornée et que la suite(𝑢𝑛)est décroissante de limite nulle. Montrer que la série∑ 𝑢𝑛𝑣𝑛converge.
7 Soit𝑥 ∈ ℝ ⧵ 2πℤ. Montrer que pour tout entier naturel non nul𝑛,
𝑛
∑
𝑘=1
sin(𝑘𝑥) = sin((𝑛+1)𝑥
2 )sin(𝑛𝑥
2 ) sin(𝑥
2)
8 Montrer que la série trigonométrique ∑
𝑛≥1
1
√𝑛sin(𝑛𝑥)converge simplement surℝ. 9 La série trigonométrique ∑
𝑛≥1
1
√𝑛sin(𝑛𝑥)converge-t-elle normalement surℝ?
III Propriétés
Une condition suffisante
10 Démontrer que si les séries ∑ 𝑎𝑛 et ∑ 𝑏𝑛 sont absolument convergentes, alors la série trigonométrique
∑(𝑎𝑛cos(𝑛𝑥) + 𝑏𝑛sin(𝑛𝑥))converge normalement surℝ.
Une condition nécessaire
11 Soient 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ quelconques. Démontrer que le maximum de la fonction 𝑥 ↦ |𝑎cos(𝑥) + 𝑏sin(𝑥)| est
√𝑎2+ 𝑏2.
12 Démontrer que si la série trigonométrique∑(𝑎𝑛cos(𝑛𝑥) + 𝑏𝑛sin(𝑛𝑥))converge normalement surℝ, alors les suites(𝑎𝑛)et(𝑏𝑛)convergent vers0et les séries∑ 𝑎𝑛et∑ 𝑏𝑛 sont absolument convergentes.
Autres propriétés
13 On note𝑓la somme d’une série trigonométrique∑(𝑎𝑛cos(𝑛𝑥) + 𝑏𝑛sin(𝑛𝑥))qui converge normalement sur ℝ. Justifier que𝑓 ∈ 𝒞2π.
14 Calculer∫
π
−π
cos2(𝑛𝑥)d𝑥pour𝑛 ≠ 0et donner la valeur de∫
π
−π
sin(𝑘𝑥)cos(𝑛𝑥) d𝑥pour𝑘et𝑛entiers.
15 On note𝑓la somme d’une série trigonométrique∑(𝑎𝑛cos(𝑛𝑥) + 𝑏𝑛sin(𝑛𝑥))qui converge normalement sur ℝ: pour tout réel𝑥,𝑓(𝑥) =
+∞
∑
𝑘=0
(𝑎𝑘cos(𝑘𝑥) + 𝑏𝑘sin(𝑘𝑥)). Démontrer que pour tout entier naturel𝑛non nul, α𝑛(𝑓) = 𝑎𝑛 puis exprimerα0(𝑓)en fonction de𝑎0. On pourra utiliser sans démonstration que pour𝑘 ≠ 𝑛,
∫
π
−π
cos(𝑘𝑥)cos(𝑛𝑥)d𝑥 = 0.
On admettra, pour la suite du problème, que pour tout entier naturel𝑛non nulβ𝑛(𝑓) = 𝑏𝑛 etβ0(𝑓) = 0(la démonstration n’est pas demandée).
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16 Soit 𝑓 ∈ 𝒞2π. Pour tout réel 𝑥, on pose 𝑢0(𝑥) = α0(𝑓)
2 . Pour tout entier 𝑛 ≥ 1, on pose 𝑢𝑛(𝑥) = α𝑛(𝑓)cos(𝑛𝑥)+β𝑛(𝑓)sin(𝑛𝑥). On suppose ici que la série trigonométrique∑(𝑢𝑛(𝑥))converge normalement surℝvers une fonction notée𝑔:
∀𝑥 ∈ ℝ, 𝑔(𝑥) = α0(𝑓) 2 +
+∞
∑
𝑘=1
(α𝑘(𝑓)cos(𝑘𝑥) + β𝑘(𝑓)sin(𝑘𝑥)) Quelles relations a-t-on dans ce cas entreα𝑛(𝑔)etα𝑛(𝑓)?β𝑛(𝑔)etβ𝑛(𝑓)?
17 Il est admis que si une fonctionℎ ∈ 𝒞2πvérifie : pour tout entier naturel𝑛,α𝑛(ℎ) = β𝑛(ℎ) = 0, alorsℎest la fonction nulle. Démontrer que pour tout réel𝑥,𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥).
En résumé, lorsque la série trigonométrique ∑(α𝑛(𝑓)cos(𝑛𝑥) + β𝑛(𝑓)sin(𝑛𝑥)) d’une fonction𝑓 ∈ 𝒞2π converge normalement queℝalors pour tout réel𝑥, on a
𝑓(𝑥) = α0(𝑓) 2 +
+∞
∑
𝑛=1
(α𝑛(𝑓)cos(𝑛𝑥) + β𝑛(𝑓)sin(𝑛𝑥))
18 Si 𝑓 ∈ 𝒞2π est une fonction paire, que vautβ𝑛(𝑓)? Exprimer, sans démonstration, α𝑛(𝑓) en fonction de l’intégrale∫
π
0
𝑓(𝑥)cos(𝑛𝑥) d𝑥.
19 Exemple. Soit 𝑓 ∈ 𝒞2π définie ainsi : pour tout 𝑥 ∈ [−π, π], 𝑓(𝑥) = 𝑥2 et𝑓 est 2π-périodique sur ℝ.
Construire la courbe de cette fonction paire 𝑓 sur l’intervalle[−3π, 3π] puis déterminer, pour tout entier naturel, les coefficientsα𝑛(𝑓)etβ𝑛(𝑓). Donner une série trigonométrique qui converge normalement surℝ vers𝑓.
20 En déduire les sommes +∞
∑
𝑛=1
(−1)𝑛
𝑛2 et +∞∑
𝑛=1
1 𝑛2 Déduire alors de la seconde somme la valeur de
+∞
∑
𝑛=0
1 (2𝑛 + 1)2
21 La somme d’une série trigonométrique qui converge normalement surℝest-elle nécessairement une fonction dérivable surℝ?
Proposer une condition suffisante sur les séries∑ 𝑛𝑎𝑛et∑ 𝑛𝑏𝑛 pour que la somme de la série trigonomé- trique∑(𝑎𝑛cos(𝑛𝑥) + 𝑏𝑛sin(𝑛𝑥)), qui converge normalement surℝsoit une fonction dérivable surℝ. 22 Déterminer la somme de la série trigonométrique ∑
𝑛∈ℕ
𝑛
3𝑛cos(𝑛𝑥).
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