.a un développement décimal pé- riodique dont le bloc de longueur 6 est 285714

Enoncé A363 (Diophante) Permutations à la chaîne

On considère les fractions rationnelles a/b avec 0< a < b qui admettent un développement décimal périodique de longueur n > 1, de la forme a/b = 0, d₁d₂d₃. . . d_nd₁d₂d₃. . . d_n. . . avec le bloc d₁d₂d₃. . . d_n qui se ré- pète à l’infini.

Par exemple : 2/7 = 0,285714285714. . .a un développement décimal pé- riodique dont le bloc de longueur 6 est 285714.

On effectue une suite de permutations circulaires sur les chiffres de chaque blocd₁d₂d₃. . . d_n. Lors d’une permutation le dernier chiffre de chaque bloc passe en première position de ce bloc tandis que les n−1 autres chiffres sont décalés d’un cran vers la droite et l’on obtient à nouveau l’écriture d’une fraction rationnelle.

Soit r_k(a/b) la k-ième fraction rationnelle obtenue à l’issue d’unek-ième permutation circulaire opérée sur a/bavec k entier positif quelconque.

Par exemple à partir de a/b= 2/7, on ar₁(2/7) = 0,428571428571. . .= 3/7 puis r₂(2/7) = 0,142857142857. . . = 1/7, r₃(2/7) = 0.714285714285. . .= 5/7 etc.,r6(2/7) = 0,285714285714. . .= 2/7 etc.

Sachant que r₈(a/b) = 2r₂(a/b) etr₄(a/b) = 4r₈(a/b), déterminer la frac- tion a/b dont le développement décimal a la plus petite période n > 1 possible puis calculer r2016(a/b).

Solution de Jean Moreau de Saint-Martin

Soit Dl’entier d₁d₂d₃. . . d_n; 10ⁿ(a/b) = a/b+D, d’où bD=a(10ⁿ−1).

Je me limite aux fractionsa/birréductibles ;b, qui divisea(10ⁿ−1) et est premier avec a, est un diviseur de 10ⁿ−1 et est donc premier avec 10.

De ce fait, il existe (Bachet) un entier c, premier avec b, tel que b divise 10c−1 =be.

10r1(a/b) = d1 +a/b, donc 10br1(a/b) = bd1+a est un entier f; cf = ac+bcd₁= 10cbr₁(a/b) =br₁(a/b) +eb(br₁(a/b)). Ainsi, à un multiple de b près,br₁(a/b) =acetr₁

a

b

= acmodb

b .

Après kde ces opérations, r_k

a

b

= ac^kmodb

b .

La condition r₈(a/b) = 2r₂(a/b) donne a(c⁸−2c²) modb

b entier, donc b divisec⁶−2.

De même, la conditionr₄(a/b) = 4r₈(a/b) donne a(c⁴−4c⁸) modb

b entier,

doncbdivise 1−4c⁴.

Dans l’anneau des polynômes à coefficients entiers, le PGCD des poly- nômesc⁶−2 et 4c⁴−1 est

255 = (4c⁴−1)(4c⁴+ 32c²+ 1)−(c⁶−2)(16c²+ 128).

b est un diviseur de 255, premier avec 10 (ce qui exclut le facteur 5), et

>3 car le diviseur 3 donne un développement de période 1. La plus petite valeur deb estb= 17 donnant une période de longueurn= 16.

17 divise 4c⁴−1 = (2c²+ 1)(2c²−1), donc 2c² =±1 modulo 17 ; 17 doit diviser aussi 8(c⁶−2) + 17 = (2c²+ 1)(4c⁴−2c²+ 1). Il faut donc prendre 2c²+ 1 multiple de 17, d’oùc= 5 ouc= 12. Ces deux valeurs ne donnent des résultats r_k différents que sikest impair.

La condition 8r₂ = 4r₈ = r₄ < 1 conduit à retenir 11 ou 05 comme les deux derniers chiffres de la période :

0,7647058823529411. . .= 13/17,

r₂(13/17) = 2/17,r₈(13/17) = 4/17,r₄(13/17) = 16/17, et 0,8823529411764705. . .= 15/17,

r₂(15/17) = 1/17,r₈(15/17) = 2/17,r₄(15/17) = 8/17 sont les deux solutions poura/b.

La période 16 étant un diviseur de 2016, r2016(a/b) =a/b.